1、第十六章 平面几何一、常用定理（仅给出定理 ， 证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是ABC的三边BC ， CA ， AB或其延长线上的点 ， 若三点共线 ， 则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上 ， 若则三点共线 。
塞瓦定理 设分别是ABC的三边BC ， CA ， AB或其延长线上的点 ， 若三线平行或共点 ， 则塞瓦定理的逆定理 设分别是ABC的三边BC ， CA ， AB或其延长线上的点 ， 若则三线共点或互相平行 。
角元形式的塞瓦定理 分别是ABC的三边BC ， CA ， AB所在直线上的点 ， 则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形 ， 则ABCD+BCADACBD ， 当且仅当A ， B ， C ， D四点共圆时取等号 。
斯特瓦特定理 设P为ABC 。

2、的边BC上任意一点 ， P不同于B ， C ， 则有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线 ， 则三垂足共线 。
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线 ， 则该点在三角形的外接圆上 。
九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点 ， 这九点共圆 。
蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行 。
（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线 ， 这条直线称根轴）欧拉定理 ABC的外心O ， 垂心H ， 重心G三点共线 ， 且二、方法与例题1同一法 。
即不直接去证明 ， 而是作出满足条件的图形或点 ， 然后证明它与已知图形或点重合 。
例1 在ABC中 。

3、 ， ABC=700 ， ACB=300 ， P ， Q为ABC内部两点 ， QBC=QCB=100 ， PBQ=PCB=200 ， 求证：A ， P ， Q三点共线 。
证明 设直线CP交AQ于P1 ， 直线BP交AQ于P2 ， 因为ACP=PCQ=100 ， 所以 ， 在ABP ， BPQ ， ABC中由正弦定理有 ， 由 ， 得 。
又因为P1 ， P2同在线段AQ上 ， 所以P1 ， P2重合 ， 又BP与CP仅有一个交点 ， 所以P1 ， P2即为P ， 所以A ， P ， Q共线 。
2面积法 。
例2 见图16-1 ， ABCD中 ， E ， F分别是CD ， BC上的点 ， 且BE=DF ， BE交DF于P ， 求证：AP为BPD的平分线 。
证明 设A点到BE ， DF距离分别为h1,h2 ， 则又因为SABCD=SADF ， 又BE= 。

4、DF 。
所以h1=h2 ， 所以PA为BPD的平分线 。
3几何变换 。
例3 （蝴蝶定理）见图16-2 ， AB是O的一条弦 ， M为AB中点 ， CD ， EF为过M的任意弦 ， CF ， DE分别交AB于P ， Q 。
求证：PM=MQ 。
证明 由题设OMAB 。
不妨设 。
作D关于直线OM的对称点 。
连结 ， 则要证PM=MQ ， 只需证 ， 又MDQ=PFM ， 所以只需证F ， P ， M ， 共圆 。
因为=1800-=1800-=1800- 。
（因为OM 。
AB/）所以F ， P ， M ， 四点共圆 。
所以MDQ 。
所以MP=MQ 。
例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色 ， 证明：存在这样的两个相似三角形 ， 它们的相似比为1995 ， 而且每个三角形三个顶点同色 。
证明 在平面上作两个同心圆 。

【高中数学|高中数学竞赛辅导讲义第十六章平面几何】5、 ， 半径分别为1和1995 ， 因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一 ， 所以小圆上必有五个点同色 ， 设此五点为A ， B ， C ， D ， E ， 过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1 ， B1 ， C1 ， D1 ， E1 ， 由抽屉原理知这五点中必有三点同色 ， 不妨设为A1 ， B1 ， C1 ， 则ABC与A1B1C1都是顶点同色的三角形 ， 且相似比为1995 。
4三角法 。
例5 设AD ， BE与CF为ABC的内角平分线 ， D ， E ， F在ABC的边上 ， 如果EDF=900 ， 求BAC的所有可能的值 。
解 见图16-3 ， 记ADE= ， EDC= ， 由题设FDA=- ， BDF=- ， 由正弦定理： ， 得 ， 又由角平分线定理有 ， 又 ， 所以 ， 化简得 ， 同理 ， 即所以 ， 所以sincos-co 。

6、ssin=sin(-)=0.又-3PG.证明 因为 ， 又G为ABC重心 ， 所以（事实上设AG交BC于E ， 则 ， 所以）所以 ， 所以又因为不全共线 ， 上式“=”不能成立 ， 所以PA+PB+PC3PG 。
6解析法 。
例7 H是ABC的垂心 ， P是任意一点 ， HLPA ， 交PA于L ， 交BC于X ， HMPB ， 交PB于M ， 交CA于Y ， HNPC交PC于N ， 交AB于Z ， 求证：X ， Y ， Z三点共线 。
解 以H为原点 ， 取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴 ， 建立直角坐标系 ， 用(xk,yk)表示点k对应的坐标 ， 则直线PA的斜率为 ， 直线HL斜率为 ， 直线HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直线HA的斜率为 ， 所以直线BC的 。

7、斜率为 ， 直线BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,又点C在直线BC上 ， 所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.又因为X是BC与HL的交点 ， 所以点X坐标满足式和式 ， 所以点X坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB.同理点Y坐标满足xxP+yyP=xBxC+yByC.点Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由知 ， 表示同一直线方程 ， 故X ， Y ， Z三点共线 。
7四点共圆 。
例8 见图16-5 ， 直线l与O相离 ， P为l上任意一点 ， PA ， PB为圆的两条切线 ， A ， B为切点 ， 求证：直线AB过定点 。
证明 过O作OCl于C ， 连结O 。

8、A ， OB ， BC ， OP ， 设OP交AB于M ， 则OPAB ， 又因为OAPA ， OBPB ， OCPC 。
所以A ， B ， C都在以OP为直径的圆上 ， 即O ， A ， P ， C ， B五点共圆 。
AB与OC是此圆两条相交弦 ， 设交点为Q ， 又因为OPAB ， OCCP ， 所以P ， M ， Q ， C四点共圆 ， 所以OMOP=OQOC 。
由射影定理OA2=OMOP ， 所以OA2=OQOC ， 所以OQ=（定值） 。
所以Q为定点 ， 即直线AB过定点 。
三、习题精选1O1和O2分别是ABC的边AB ， AC上的旁切圆 ， O1与CB ， CA的延长线切于E ， G ， O2与BC ， BA的延长线切于F ， H ， 直线EG与FH交于点P ， 求证：PABC 。
2设O的外切四边形ABCD的对角线AC ， BD的中点 。

9、分别为E ， F ， 求证：E ， O ， F三点共线 。
3已知两小圆O1与O2相外切且都与大圆O相内切 ， AB是O1与O2的一条外公切线 ， A ， B在O上 ， CD是O1与O2的内公切线 ， O1与O2相切于点P ， 且P ， C在直线AB的同一侧 ， 求证：P是ABC的内心 。
4ABC内有两点M ， N ， 使得MAB=NAC且MBA=NBC ， 求证：5ABC中 ， O为外心 ， 三条高AD ， BE ， CF相交于点H ， 直线ED和AB相交于点M ， 直线FD和AC相交于点N ， 求证：（1）OBDF ， OCDE；（2）OHMN 。
6设点I ， H分别是锐角ABC的内心和垂心 ， 点B1 ， C1分别是边AC ， AB的中点 ， 已知射线B1I交边AB于点B2(B2B) ， 射线C1I交AC的延长线于点C2 ， B2C2与BC相交于点K ， A1为BHC的外心 。
试证：A ， I ， A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2的面积相等 。
7已知点A1 ， B1 ， C1 ， 点A2 ， B2 ， C2 ， 分别在直线l1,l2上， B2C1交B1C2于点M ， C1A2交A1C2于点N ， B1A2交B2A1于L 。
求证：M ， N ， L三点共线 。
8ABC中 ， C=900 ， A=300 ， BC=1 ， 求ABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值 。
9ABC的垂心为H ， 外心为O ， 外接圆半径为R ， 顶点A ， B ， C关于对边BC ， CA ， AB的对称点分别为 ， 求证：三点共线的充要条件是OH=2R 。

来源：(未知)

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标题：高中数学|高中数学竞赛辅导讲义第十六章平面几何