1、3.1 空间向量及其运算（练习）学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法 ， 减法 ， 向量的数乘运算 ， 向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式 ， 并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程 一、课前准备：（阅读课本p115）复习：1. 具有 和 的量叫向量 ，叫向量的模； 叫零向量 ， 记着 ； 具有 叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.3.实数与向量a的积是一个 量 ， 记作， 其长度和方向规定如下：(1)|a| .(2)当0时 ， a与A. ；当0时 ， a与A. ；当0时 ， a .4. 向量加法和数乘向量运算律：交换律：ab 结 。

【31空间向量及其运算练习|高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《31空间向量及其运算(练习)》导学案】2、合律：(ab)c 数乘分配律：(ab) 5. 表示空间向量的 所在的直线互相 或， 则这些向量叫共线向量 ， 也叫平行向量.空间向量共线定理：对空间任意两个向量（） ，的充要条件是存在唯一实数 ，使得 ； 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线 ， 对空间的任意一点O ， 点P在直线l上的充要条件是 6. 空间向量共面：共面向量： 同一平面的向量. 定理：对空间两个不共线向量 ， 向量与向量共面的充要条件是存在，使得 .推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： 存在， 使 对空间任意一点O ， 有 7. 向量的数量积： .8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互 。

3、相， 长度都为， 则这个基底叫做单位正交基底 ， 通常用i,j,k表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a ， 且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量 ， 则存在有序实数组 ， 使得 ， 则称有序实数组为向量a的坐标 ， 记着 .10. 设A ， B ， 则 .11. 向量的直角坐标运算：设a ， b ， 则ab ； ab ；a ； ab 动手试试1在下列命题中：若a、b共线 ， 则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线 ， 则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面 ， 则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c ， 则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的 。

4、个数为（ ）A0 B. 1 C. 2 D. 32在平行六面体ABCDA1B1C1D1中 ， 向量、是（ ）A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量3已知a（2 ， 1 ， 3） ， b（1 ， 4 ， 2） ， c（7 ， 5 ， ） ， 若a、b、c三向量共面 ， 则实数=（ ）A. B. C. D. 4若a、b均为非零向量 ， 则是a与b共线的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件5已知ABC的三个顶点为A（3 ， 3 ， 2） ， B（4 ， 3 ， 7） ， C（0 ， 5 ， 1） ， 则BC边上的中线长为（ ）A2 B3 C4 D56. 则（ ）A15 B5 C3 D1 典型例题例1 如图 ， 空间四边形 。

5、OABC中 ， 点M在OA上 ， 且OM=2MA,点为的中点 ， 则 .变式：如图 ， 平行六面体中 ， ,点分别是的中点 ， 点Q在上 ， 且,用基底表示下列向量： ;
;
;
.例2 如图 ， 在直三棱柱ABCA1B1C1中 ， ,点是的中点 ， 求证：.变式：正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2 ， 底面边长为1 ， 点M是的中点 ， 在直线上求一点N ， 使得学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1直三棱柱ABCA1B1C1中 ， 若 ，则（ ）A. B. C. D. 2.、（ ）A B 与不平行也不垂直C.，D以上情况都可能.3. 已知+ ， |2 ， |3 ， | ， 则向量与之间的夹角为（ ）A30 B45 C60 D以上都不对4.已知且与互相垂直 ， 则的值是（ ）A. .1 B. C. D. 5. 若A(m1 ， n1,3) ，B. (2m,n,m2n) ， C(m3,n3,9)三点共线 ， 则m+n= 课后作业 如图 ， 在棱长为1的正方体中 ， 点分别是的中点. 求证：； 求与所成角的余弦； 求的长 。

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