1、第十章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长的曲线积分,第十章,内容小结,1. 定义,2. 性质,l 曲线弧 的长度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式,则,推广: 设 。

2、空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中L1是曲线L在x轴右侧的那一部分；关于y轴对称也有类似结论,对称性的应用： 1.如果曲线关于x轴对称 ， 函数f(x,y)关于y为奇偶函数 ， 则,2.设f(x,y)在曲线连续 ， 曲线L关于原点对称 ， 函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数 ， 则,其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分,例1. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中为球面,解,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,已知椭圆,周长为a , 求 。

3、,提示,原式,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,1、对坐标的曲线积分的概念 与性质,2、 对坐标的曲线积分的计算法,3、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲线积分,第十章,1. 定义,性质,1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,机动 目 。

4、录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域,多连通区域 ( 有“洞”区域,域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,格林公式,函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,2) 对D 中任一分段光滑曲线。

5、L, 曲线积分,3,4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关,函数,则以下四个条件等价,在 D 内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,真题研讨,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 。

6、 结束,对面积的曲面积分,第十章,1. 定义,2. 计算: 设,则,曲面的其他两种情况类似,注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分的概念、性质和计算,对称性的应用,例3. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十章,其方向用法向量指向,方向余弦,0 为前侧 0 为后 。

7、侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分,称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分,称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,上侧取“+”, 下侧取“”,类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分 。

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标题：考研|考研曲线积分和曲面积分