文章图片


各位关注数学世界的朋友 ， 大家好！数学世界将为大家分析和讲解初中数学中与圆有关的综合题 ， 笔者希望通过对习题的解析 ， 能够为广大初中生学习相关的数学知识提供一些帮助！
长期关注数学世界的朋友都知道 ， 数学世界一直都是精心挑选有代表性的数学题分享给大家 ， 希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣 ， 并能给广大学生学习数学这门课程提供助力！
今天 ， 数学世界分享一道与圆有关的解答题 ， 涉及切线的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及扇形面积的计算等知识 。 下面 ， 数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图 ， 已知AB为⊙O的直径 ， 射线AD交⊙O于点F ， 点C为劣弧BF的中点 ， 过点C作CE⊥AD ， 垂足为E ， 连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=30° ， AB=4 ， 求阴影部分的面积．

知识回顾
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。
垂径定理推论:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦并且平分这条弦所对的另一条弧 。
分析与解答：（请大家注意 ， 想要正确解答一道数学题 ， 必须先将大体思路弄清楚 。 以下过程可以部分调整 ， 并且可能还有其他不同的解题方法）（1）证切线则需要连接OC ， 连接BF ， 证明BF∥CE ， 接着证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF ， 推出阴影部分的面积和扇形COF的面积相等 ， 求出扇形FOC的面积 ， 即可得到阴影部分的面积．
解：（1）连接BF ， OC ， （作半径证垂直）
∵AB是⊙O的直径 ，
（直径所对的圆周角是90°）
∴∠AFB=90° ， 即BF⊥AD ，
∵CE⊥AD ，
∴BF∥CE ， （平行线的判定）
∵点C为劣弧BF的中点 ，
（平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦）
∴OC⊥BF ，
∵BF∥CE ，
∴OC⊥CE ， （平行线的性质）
∵OC是⊙O的半径 ，
∴CE是⊙O的切线；

（2）连接OF ， CF ， （出现扇形FOC）
∵OA=OC ， ∠BAC=30° ，
∴∠BOC=∠OAC+∠OCA=60° ，
（三角形的外角定理）
∵点C为劣弧BF的中点 ，
∴弧FC＝弧BC ，
（等弧所对的圆心角相等）
∴∠FOC=∠BOC=60° ，
∵OF=OC ，
（此处运用了等边三角形的判定和性质）
∴∠OCF=60°=∠BOC ，
∴CF∥AB ，
∴S△ACF=S△COF ， （同底等高的三角形）
∴阴影部分的面积=S扇形COF ，
∵AB=4 ，
∴FO=OC=OB=2 ，
∴S扇形FOC=60/360×π×2^2=2π/3 ，
即阴影部分的面积为2π/3.
（完毕）
【退休|此题求阴影部分面积，具有一定难度，将面积进行转化是解题关键】这道题是关于圆的综合题 ， 具有一定难度 ， 但仍属于应该掌握的内容 ， 考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及扇形面积的计算等知识 ， 解题的关键是将阴影部分的面积进行转化 。 温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法 ， 欢迎大家留言讨论 。

来源：(数学世界)

【】网址：/a/2021/0125/kd638478.html

标题：退休|此题求阴影部分面积，具有一定难度，将面积进行转化是解题关键