1、1 ， 数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：两边除以 ， 得 ， 则 ， 故数列是以为首项 ， 以为公差的等差数列 ， 由等差数列的通项公式 ， 得 ， 所以数列的通项公式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为 ， 说明数列是等差数列 ， 再直接利用等差数列的通项公式求出 ， 进而求出数列的通项公式 。
（2）累加法例2 已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：由得则所以数列的通项公式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为 ， 进而求出 ， 即得数列的通项公式 。
变式：已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
（3）累乘法例3已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：因为 ， 所以 ， 则 ， 故所以数列的通项公式 。

2、为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为 ， 进而求出 ， 即得数列的通项公式 。
变式：已知数列满足 ， 求的通项公式 。
（4）待定系数法例4已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：设将代入式 ， 得 ， 等式两边消去 ， 得 ， 两边除以 ， 得代入式得由及式得 ， 则 ， 则数列是以为首项 ， 以2为公比的等比数列 ， 则 ， 故 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为 ， 从而可知数列是等比数列 ， 进而求出数列的通项公式 ， 最后再求出数列的通项公式 。
变式：已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
（5）对数变换法例5已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：因为 ， 所以 。
在式两边取常用对数得设将式代入式 ， 得 ， 两边消去并整理 ， 得 ， 则 ， 故代入 。

3、式 ， 得 由及式 ， 得 ， 则 ， 所以数列是以为首项 ， 以5为公比的等比数列 ， 则 ， 因此则 。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为 ， 从而可知数列是等比数列 ， 进而求出数列的通项公式 ， 最后再求出数列的通项公式 。
（6）数学归纳法例6已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：由及 ， 得由此可猜测 ， 往下用数学归纳法证明这个结论 。
（1）当时 ， 所以等式成立 。
（2）假设当时等式成立 ， 即 ， 则当时 ， 由此可知 ， 当时等式也成立 。
根据（1） ， （2）可知 ， 等式对任何都成立 。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项 ， 进而猜出数列的通项公式 ， 最后再用数学归纳法加以证明 。
（7）换元法例7已知数列满足 ， 求数列的通项公 。

4、式 。
解：令 ， 则故 ， 代入得即因为 ， 故则 ， 即 ， 可化为 ， 所以是以为首项 ， 以为公比的等比数列 ， 因此 ， 则 ， 即 ， 得 。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为 ， 使得所给递推关系式转化形式 ， 从而可知数列为等比数列 ， 进而求出数列的通项公式 ， 最后再求出数列的通项公式 。
（8）不动点法例8已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：令 ， 得 ， 则是函数的两个不动点 。
因为 。
所以数列是以为首项 ， 以为公比的等比数列 ， 故 ， 则 。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点 ， 即方程的两个根 ， 进而可推出 ， 从而可知数列为等比数列 ， 再求出数列的通项公式 ， 最后求出数列的通项公式 。
例9已知数列满足 ， 求数列的通项公式 。
解：令 ， 得 ， 则是函数的不动点 。
因为 ， 所以 。
。

5、评注：本题解题的关键是通过将的换元为 ， 使得所给递推关系式转化形式 ， 从而可知数列为等比数列 ， 进而求出数列的通项公式 ， 最后再求出数列的通项公式 。
课后习题：1数列的一个通项公式是（ ）A、 B、 C、 D、2已知等差数列的通项公式为 , 则它的公差为（ ） A 、2 B 、3 C、 D、3在等比数列中, 则（ ） A、 B、 C、 D、4若等比数列的前项和为 ， 且 ， 则 5已知数列通项公式 ， 则该数列的最小的一个数是 6在数列an中 ， 且 ， 则数列的前99项和等于 7已知是等差数列 ， 其中 ， 公差 。
（1）求数列的通项公式；（2）数列从哪一项开始小于0？（3）求数列前项和的最大值 ， 并求出对应的值8已知数列的前项和为 。

6、 ， （1）求、的值；（2）求通项公式 。
9等差数列中 ， 前三项分别为 ， 前项和为 ， 且 。
（1）、求和的值；（2）、求=;

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标题：数列|数列通项公式方法大全很经典