1、排列组合公式及恒等式推导、证明（word版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件 ， 不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了 。
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一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!mnnAnnnnmnm=-+=-L (1)(1)321nnAnnn=-创L 推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序 ， 按计数原理分步进行： 第一步 ， 排第一位： 有 n 种选法； 第二步 ， 排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步 ，。

【排列组合|排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)】2、排第三位： 有（n-2） 种选法； 第m步 ， 排第m位： 有（n-m+1）种选法； 最后一步 ， 排最后一位：有 1 种选法 。
根据分步乘法原理 ， 得出上述公式 。
二、组合数公式： (1)(2)(1)!()!mmnnmmAnnnnmnCAmmnm-+=-L 1nnC= 推导：把n个不同的元素任选m个不排序 ， 按计数原理分步进行： 第一步 ， 取第一个： 有 n 种取法； 第二步 ， 取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步 ， 取第三个： 有（n-2） 种取法； 第m步 ， 取第m个： 有（n-m+1）种取法； 最后一步 ， 取最后一个：有 1 种取法 。
上述各步的取法相乘是排序的方法数 ， 由于选m个 ， 就有m!种排排法 ， 选 。

3、n个就有n!种排法 。
故取m个的取法应当除以m!,取n个的取法应当除以n! 。
遂得出上述公式 。
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明 。
将部分排列问题mnA分解为两个步骤： 第一步 ， 就是从n个球中抽m个出来 ， 先不排序 ， 此即定义的组合数问题mnC； 第二步 ， 则是把这m个被抽出来的球全部排序 ， 即全排列mmA 。
根据乘法原理 ， mmmnnmACA= 即： (1)(2)(1)!()!mmnnmmAnnnnmnCAmmnm-+=-L 组合公式也适用于全组合的情况 ， 即求 C(n, n)的问题 。
根据上述公式 ，C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1 。
这一结果 。

4、是完全合理的 ， 因为从n个球中抽取所有n个出来 ， 当然只有1种方法 。
三、重复组合数公式： 重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个 ， 放回后再取下一个 ， 如此连续m次所得的组合 。
重复组合数公式：1mmnnmRC+-= （m可小于、大于、等于n,n1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”： n个不同的元素看作是n个格子 ， 其间一共有（n-1）块相同的隔板 ， 用m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面 ， 问有多少种放法；这相当 于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法 ， 再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的 。

5、 ， 所以除以重复的情况：m！*（n-1）！ 于是答案就是：1(1)!(1)!mmnnmmnRCmn+-+-=- 四、不全相异的全排列 在不全相异的n个物体中 ， 假设有n1个物体是相同的 ， n2个题是相同的 ， 个物体是相同的个物体中不相同的物体类数一共种 。
那么 ， 这些物体的全排列数n!/(!可以想成个物体直接全排列 ， 排列完了以后 ， 去重 ， 第种物体种 ， 第二种物体种 ， 以此类推 。
例：有3个红球 ， 2个白球 ， 把这五个球排成一行 ， 问有多少种排法？红球和红球没有区别 ， 白球和白球没有区别 。
答：一共有10种 ，aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bb 。

6、aaa 。
五、排列恒等式的证明： 1(1)mmnnAnmA-=-+ 证明：右边=!(1)(1)!()!mnnnnmAnmnm-+= = -+- 左边=右边 1mmnnnAAnm-=- 证明：右边=(1)!(1)!()!mnnnnAnmnmnm-?=- 左边=右边 11mmnnAnA-= 证明：右边=(1)!()!()!mnnnnAnmnm-=- 左边=右边 11nnnnnnnAAA+=- 证明：右边=11(1)!(1)!nnnnnnAAnnnnnnnnA+-=+-=+-=gg 右边=左边 11mmmnnnAAmA-+=+ 证明：右边 =1!(1)!(1)!()!(1)!(1)!(1)!mnnn 。

7、nmnmnnmAnmnmnmnm+-+-+=-+-+-+g 1!22!33!(1)!1nnn+?+?+-L 证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+（n+1-1）n! =2!-1!+3!-2!+4!-3!(n+1)!-n! =(n+1)!-1！ =右边 六、组合恒等式的证明 首先明弄清组合的两个性质公式： 互补性质：取出有多少种 ， 剩下就有多少种 mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+ 分类计数原 根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素 1111mmmnnnmnmCCCnmm+-+-+=-证明：111(1)!()(1)!(1)!()!11!(1)!(1) 。

8、!()!mmnnmmnnmmnnCCnmnmmnmmnmnmnmnnCCmmmnmmnm+-+=-+-+-+=-+-g 证明：右边= 1(1)!(1)!()!mmnnnnnnCCnmnmmnmmnm-=-g 证明： 右边= (1)!(1)!()!()!mnnnnCmmnmmnm-=-g =左边 证明：根据组合性质 ， 左边各式可写成： 1mmnnnCCnm-=- 11mmnnnCCm-= 1121rrrrrrrrnnCCCCC+=L111112111232113431111111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrnnnrrrnnnCCCCCCCCCCCCCCCCC+-+=-=-=- 。

来源：(未知)

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标题：排列组合|排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)