10、2,2,分别叫做正数,a,b,的调和,平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数,于是有调和平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,利用均值不等式证明不等式,例,3,设,a,b,c,都是正数,求证,a+b+c,证明,因为,a,b,c,都是正数,所以,也都是正数,所以,2,c,当且仅当,a=b,时取等号,2,a,当且仅当,b=c,时取等,号,2,b,当且仅当,a=c,时取等号,三式相加得,2,2,a+b+c,即,a+b+c,当且仅当,a=b=c,时取等号,反思感悟,1,多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立,2,累加法是 。

11、不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使,用,3,对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等,式模型,再使用,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1,将本例,3,中所证的不等式左边改为,2,2,2,其他均不变,又将如何证明呢,延伸探究,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,证明,a,b,c,2,2,2,均大于,0,2,b,2,2,2,a,当且仅当,2,b,时等号成立,2,c,2,2,2,b,当且仅当,2,c,时等号成立,2,a,2,2,2,c,当且仅当,2,a,时等号成立,得,2,b,2,c,2,a,2,a,2 。

12、,b,2,c,2,2,2,a+b+c,当且仅当,a,2,b,2,c,2,时等号成立,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,2,将本例,3,中的条件不变,求证,3,证明,左边,1,1,1,3,a,b,c,为正数,2,当且仅当,a=b,时取等号,2,当且仅当,a=c,时取等号,2,当且仅当,b=c,时取等号,从而,6,当且仅当,a=b=c,时取等号,3,3,即,3,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,均值不等式在实际问题中的应用,例,4,某学校拟建一块周长为,400 m,的操场,操场的两边是半圆形,中间是矩形,如图所示,学生做操一般 。

13、安排在矩形区域,为了能让学,生的做操区域尽可能大,应如何设计矩形,解,设半圆的直径为,d,m,矩形的另一边长为,x,m,中间的矩形区域,面积为,S,m,2,由题知,S=dx,且,d,2,x,400,S,1,2,d,2,x,1,2,2,2,2,20,000,当且仅当,d,2,x,200,即,x,100,时,等号成立,则设计半圆的直径为,200,m,矩形区域的另一边,长为,100 m,时,矩形区域的面积最大,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟,1,在实际问题中,与最值有关的应用题是一种常见题型,高考试题中时有出现,解决此类问题的基本思路是,先建立目标函, 。

14、数,然后再求该目标函数的最值,由于均值不等式求最值具有方便,快捷的特点,应作为求最值的首选方法,2,在应用均值不等式求最值时,要注意,一正、二定、三相等,的,原则,特别是,三相等,必须验证,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练,2,一批救灾物资随,26,辆汽车从某市以,v,km/h,的速度,匀速直达灾区,已知两地公路线长,400 km,为了安全起见,两辆汽车,的间距不得小于,20,2,km,那么这批物资全部到达灾区,最少需要,h,解析,从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为,y,400,25,20,2,400,25,400,2,400,25, 。

15、400,10(h,当且仅当,400,25,400,即,v,80,时,等号成立,答案,10,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,一题多变,利用基本不等式求最值,典例,1,已知,x,5,4,求,y,4,x,2,1,4,5,的最大值,2,已知,0,x,1,2,求,y,1,2,x,1,2,x,的最大值,3,已知,x,0,求,f,x,2,2,1,的最大值,4,已知,x,0,y,0,且,1,9,1,求,x+y,的最小值,分析,变形所求代数式的结构形式,使用符合基本不等式的结构,特征,1)4,x,2,1,4,5,4,x,5,1,4,5,3,2,1,2,x,1,2,x,1,4 。

16、,2,x,1,2,x,3,2,2,1,2,1,4,x+y,x+y,1,x+y,1,9,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解,1,x,5,4,5,4,x,0,y,4,x,2,1,4,5,5,4,x,1,5,4,3,2,3,1,当且仅当,5,4,x,1,5,4,即,x,1,时,上式等号成立,故当,x,1,时,y,max,1,2,0,x,1,2,1,2,x,0,y,1,4,2,x,1,2,x,1,4,2,1,2,2,1,4,1,4,1,16,当且仅当,2,x,1,2,x,0,x,1,2,即,x,1,4,时,y,max,1,16,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探 。

17、究三,探究四,思维辨析,当堂检测,3,f,x,2,2,1,2,1,x,0,x,1,2,1,2,f,x,2,2,1,当且仅当,x,1,即,x,1,时等号成立,4,x,0,y,0,1,9,1,x+y,1,9,x+y,9,10,6,10,16,当且仅当,9,又,1,9,1,即,x,4,y,12,时,上式取等号,故当,x,4,y,12,时,x+y,min,16,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练,1,在典例,1,中条件改为,x,5,4,求函数,f,x,4,x,2,1,4,5,的,值域,解,x,5,4,4,x,5,0,f,x,4,x,5,1,4,5,3,2,3 。

18、,5,当且仅当,4,x,5,1,4,5,即,x,3,2,时,等号成立,f,x,的值域为,5,课堂篇,探究学习,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练,2,在典例,1,中去掉条件,x,5,4,求,f,x,4,x,2,1,4,5,的最,值,解,由,f,x,4,x,2,1,4,5,4,x,5,1,4,5,3,当,x,5,4,时,4,x,5,0,f,x,4,x,5,1,4,5,3,2,3,5,当且仅当,4,x,5,1,4,5,时等号成立,即,x,3,2,时,f,x,min,5,当,x,5,4,时,4,x,5,0,f,x,4,x,2,1,4,5,5,4,x,1,5,4,3,2,3, 。

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标题：均值不等式及其应用|均值不等式及其应用 等式与不等式( 二 )