1、空间向量 及其加减运算,用字母 等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,定义,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法,用有向线段表示,字母表示法,相等的向量,长度相等且方向相同的向量,复习,2.平面向量的加减法与数乘运算,1）向量的加法,平行四边形法则,三角形法则,复习,2）向量的减法,三角形法则,3. 平面向量的加法运算律,加法交换律,加法结合律,复习,平面向量,概念,加法 减法 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量的加法、减法运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或 平行 。

2、四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗,O,A,B,C,空间向量的加减法,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量 ， 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题 ， 平面向量中有关结论仍适用于它们,平面向量,概念,加法 减法 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量的加法、减法运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗,O,A,B,C,O,A,B,C,加法结合律,1）加法交换律,2）加 。

3、法结合律,a,b,c,a + b + c,a,b,c,a + b + c,a + b,b + c,空间向量的加法、减法运算,对空间向量的加法、减法的说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立,空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加,说明,1）首尾相接的若干向量之和 ， 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即,推广,2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形 ，则它们的和为零向量即,推广,A,B,C,D,平行六面体的六个面都是平行四边形 ， 每个面的边叫做平行六面体的棱,平行四边形ABCD平移向量 a 到 的轨迹所形成的几何体 ， 叫做平行六面体记作A 。

4、BCD,平行六面体,例,例题,解,例题,A,B,M,C,G,D,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简,练习,A,B,M,C,G,D,2)原式,练习参考答案,3.1.2 空间向量的数乘运算,共线向量与共面向量,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,O,B,结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内 ， 成为同一平面内的向量,一、空间向 。

5、量数乘运算,1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量,当 时,当 时,与向量 方向相同,与向量 方向相同,是零向量,当 时,1）方向,2）大小,的长度是 的长度的 倍,2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,问题：平面向量中,的充要条件是：存在唯一,的实数， 使,能否推广到空间向量中呢,零向量与任意向量共线,作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,共线向量定理: 对空间任意两个向量，。
存在实数,使,如图 ， l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,对空间任意一点O,所以,即,若在l上取 则有,和都称为空间直线的向量表示式 ， 空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.。

6、由此可判断空间任意三点共线,l,A,B,P,O,若点P是直线l上任意一点 ， 则,由 知存在唯一的t, 满足,因为,所以,特别的 ， 当t = 时,则有,A,B,P,O,进一步,t,1-t,P点为A,B 的中点,练习1.对于空间任意一点O ， 下列命题正确的是： A.若 ， 则P、A、B共线 B.若 ， 则P是AB的中点 C.若 ， 则P、A、B不共线 D.若 ， 则P、A、B共线,A、B、P三点共线,A,O,A,B,P,三、共面向量,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量,注意：空间任意两个向量是共面的 ， 但空间任意三个向量,既可能共面 ， 也可能不共面,如果空间向量 与两不共线向量，共 面 ， 那么可将三个向量平 。

【空间|空间向量及其加减运算第一课时】7、移到同一平面， 则 有,那么什么情况下三个向量共面呢,反过来 ， 对空间任意两个不共线的向量，， 如果， 那么向量 与向量 , 有什么位 置关系,C,2.共面向量定理：如果两个向量，不共线,则向量 与向量，共面的充要条件是,存在实数对x,y使,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 序实数对x, y,使,C,对空间任一点O,有,填空,1-x-y,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式 ， 空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定,作用：由此可判断空间任意四点共面,P与A,B,C共面,例1.已知A、B、C三点不共线 ， 对于平面ABC外的任一点O ， 确定在下列各条件下 ，。

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标题：空间|空间向量及其加减运算第一课时