1、第5章 数学证明 5.2数学归纳法5.2.2数学归纳法应用,第15课时,数学归纳法应用,例2：某次象棋比赛共有人参加 ， 每两个都应对奕 ， 且一定决出胜负.证明：比赛结束后 ， 可将这个人列为一队 ， 使队列中的每一个人都曾战胜过紧跟在他后面的那个人,例3有2n+1个飞机场 ， 每个机场都有一架飞机 ， 各个机场间的距离都不相等 ， 让所有的飞机一起起飞 ， 飞向最近的机场降落 。
求证：必存在一个机场 ， 没有飞机降落 。
1当n=1时 ， 3个机场为A、B、C ， 且BCAC,BCAB 则B、C间的飞机必定对飞 ，于是不管A机场的飞机飞向B还是C机场 ， A机场都没有飞机降落 。
2假设n=k时命题成立 ， 则当n=k+1即2k+3个机场时 ，。

【数学|数学证明第15课时数学归纳法应用】2、由于各机场间距离都不相等 ， 必有两个机场间距离最短 ， 这两处的飞机对开 。
将这两机场“撤出” ， 由假设 ， 剩下的2k+1个机场中 ， 必存在一个机场P没有飞机降落 。
再把“撤出”的两机场复归 ， 则机场P仍无飞机降落 ，得n=k+1时命题仍成立,第二数学归纳法例举,例4、有两堆棋子 ， 数目相等 。
两人玩耍 ， 每人可以在一堆里任意取几棵 ， 但不能同时在两堆里取 ， 规定取得最后一棵者胜 。
问先取者得胜 ， 还是后取者可以得胜？试加以证明 。
猜测“后取者可以得胜” 。
证明：（1）当n=1时 ， 必是后取者得胜 。
（2）假设当nk时命题成立 ， 对于n=k+1 ， 当先取者在一堆里取棋子m (1mk+1)颗时 ，后取者则在另一堆里取棋子m颗 ， 两 。

3、堆棋子仍都是(k+1-m)颗 。
这样就变成了n=k+1-m的问题 ， 按照归纳假设 ， 后取者可以得胜 ， 即n=k+1命题也成立 。
由第二数学归纳法 ， 证明了：对于任意正整数n ， 后取者按上述策略都可以得胜 。
思考：若两堆棋子的数目不同 ， 则先取者和后取者哪个有必胜的策略,案例1,多面体欧拉公式,多面体欧拉公式的证明及其在平面上的推广连通平面图的特征,外部面“海洋” ， 内部面 。
连通图：图中任意两点都有路相通 。
如果一个连通的平面图G有V个顶点 ， E条边 ， F个面 ， 那么V-E+F=2 。
对平面图的边数用数学归纳法证明,如果一个连通的平面图G有V个顶点 ， E条边 ， F个面 ， 那么V-E+F=2,思考：对V,E,F哪个量进行 。

4、归纳比较合适？ 对边数E进行归纳试试看！ 证明： 1）若G只有1条边,则 V=2,E=1,F=1,故V-E+F=2成立 。
2）假设G为有k条边的连通的平面图 ， 公式Vk-Ek+Fk=2成立 。
考察G为（k+1）条边时的情况 。
即当图G由k条边增加1条边 ， 使它仍为连通图时 ， 有哪些情形,连通平面图G有V-E+F=2成立,2） 当G为（k+1）条边时,只有两种情形： 1）增加一个新顶点v/ ， 则v/必与图中的一点v相连 。
此时 ， Vk与Ek都增加1 ， 而Fk不变 ，故Vk+1-Ek+1+Fk+1 =(Vk+1)-(Ek+1)+Fk=Vk-Ek+Fk=2. 2）用一条边连结图中两个顶点u和v 。
这时 ， Ek和Fk都增加1 ， 而顶点数Vk没有变 ，故Vk+1-Ek+1+Fk+1 =Vk-(Ek+1)+(Fk+1)=Vk-Ek+Fk=2. 所以 ， E=k+1时 ， 公式V-E+F=2也成立 。
由数学归纳法 ， 命题对任何正整数E都成立 。

来源：(未知)

【学习资料】网址：/a/2021/0323/0021754790.html

标题：数学|数学证明第15课时数学归纳法应用