1、自动控制原理,山东科技大学信息与电气工程学院 高宏岩,自动控制原理,传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念 ， 也是经典控制理论中两大分支根轨迹法和频率法的基础 。
利用传递函数不必求解微分方程 ， 就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程 。
传递函数不仅可以表征系统的动态性能 ， 而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响,2.2 控制系统的复数域数学模型传递函数,消去中间变量i(t) ， 得,对上式进行拉氏变换,求出Uc(s)的表达式,若uc(0)=0,2.2.1 传递函数的定义和性质,r(t)输入量 ，c(t)输出量 R(s)=Lr(t), C(s)=Lc(t,1、定义,思考：为 。

2、何要规定零初始条件？规定初始条件为零是否可行,描述该线性定常系统的传递函数为,线性定常系统的微分方程式一般表达式为,在零初始条件时 ， 对上式进行拉氏变换 ， 得,例题】试求如图所示RLC无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S,方法一：由前面例题可知描述网络输入输出关系的微分方程,在零初始条件下 ， 对上述方程中各项求拉氏变换 ， 得,由传递函数定义 ， 得,方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程 ， 然后求其传递函数,解：用复数阻抗表示电阻时仍为R ， 电容C的复数阻抗为1/Cs ， 电感的复数阻抗为Ls 。
则由分压定律可得,总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性 ， 通常由微分方程可写出传递函数 ， 但对于电网络 ， 用复阻抗法 。

3、直接求传递函数往往更简单,例题】求如图所示有源网络的传递函数Uo(S)/Ui(S,分析：依运算放大器的特点 ， 可认为放大器输入电压u00；又运算放大器输入阻抗很大 ， 可近似认为输入电流i0=0,由上式整理 ， 得,解：则运用复数阻抗可得,例题】试求电枢控制直流电动机的传递函数,2、传递函数的性质,1) G(s)是复变量s的有理真分式函数 ， 且,2) G(s)只取决于系统或元件的结构和参数 ， 而与输入量的形式无关 ， 也不反映系统内部的任何信息,2) G(s)只取决于系统或元件的结构和参数 ， 而与输入量的形式无关 ， 也不反映系统内部的任何信息,4) G(s)是单位脉冲响应的拉氏变换,5) 传递函数只适用于线性定常系 。

4、统,3.传递函数的表示方法,1） 表示为有理分式形式,式中： 为实常数 ， 一般nm 上式称为n阶传递函数 ， 相应的系统为n阶系统,2)零、极点表示方法（根轨迹分析法常用）将有理分式改写为,式中：zj为分子多项式的根 ， 称为传递函数的零点；pi为分母多项式的根 ， 称为传递函数的极点（特征根即为极点）；K*b0/a0称为根轨迹增益,将零、极点标在复平面上 ， 则得传递函数的零极点分布图 。
零点用“ ”表示 ， 极点用“ ”表示,j,3)时间常数表示方法将有理分式改写为,式中：j、Ti分别为分子、分母多项式各因子的时间常数；Kbm/an为放大倍数或增益,传递函数G(s)如果出现复数零点、极点的话 ， 那么复数零点、极点必 。

5、然是共轭的 。
上式可改写成一般表示形式为,传递函数的极点就是微分方程的特征根 ， 极点决定了系统自由运动的模态,2.2.2 传递函数极点和零点对输出的影响,自由运动的模态,输入函数,零状态响应,前两项具有与输入函数相同的模态,后两项由极点决定的自由运动模态 ， 其系数与输入函数有关,输入信号， 零状态响应分别为,传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重 ， 取决于零点相对于极点的距离,一个系统可看成由一些环节组成的 ， 可能是电气的 ， 机械的 ， 液压的 ， 气动的等等 。
尽管这些系统的物理本质差别很大 ， 但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的 。
如果我们从数学的表达式出发 ， 一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节 。

6、所组成 ， 并求出这些典型环节的传递函数来 ， 以便于分析及研究复杂的系统 。
控制系统中常用的典型环节有:比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等,2.2.3 典型环节及其传递函数,方框图,1. 比例环节（放大环节,特点：输出量与输入量成正比 ， 不失真也不延时 。
举例：机械系统中略去弹性的杠杆、无弹性变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等等 ， 在一定条件下都可以认为是比例环节,电位器,齿轮传动系统,测速发电机,2.积分环节积分环节其输出量与输入量之间是积分关系 。
积分环节的微分方程为其传递函数为式中：T称为积分时间常数；K称为积分环节的放大倍数,当输入信号为单位阶跃信号时 ， 在零初始条件下 ，。

7、积分环节输出量的拉氏变换为将上式进行拉氏反变换后得到积分环节的单位阶跃响应为,上式表明 ， 只要有一个恒定的输入量作用于积分环节 ， 其输出量就随时间成正比地无限增加 。
图2-11(a)是由运算放大器所构成的积分调节器,图2-11 积分环节 (a)电路原理图；(b)单位阶跃响应曲线,3.惯性环节惯性环节又称为非周期环节 ， 该环节由于含有储能元件 ， 因此对突变的输入信号 ， 输出量不能立即跟随输入 ， 而是有一定的惯性 。
惯性环节的微分方程为其传递函数为式中：T为惯性环节的时间常数 。
可以看出 ， 惯性环节在s平面上有一个负值极点,图2-12(a)和(b)给出的RC网络和LR回路(电流i作为输出时)都可视为惯性环节 。
在实际的 。

【复数域数学模型|《复数域数学模型》PPT课件】8、工程中惯性环节是比较常见的,图2-12 惯性环节 (a)RC网络；(b)LR回路；(c)单位阶跃响应曲线,单容水槽,加热系统,电枢控制直流电动机,4.微分环节微分环节又称超前环节 。
常见的微分环节有纯微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节三种 。
相应的微分方程为,式中：为时间常数；z为阻尼比 。
其传递函数分别为由上述各式可见 ， 这些微分环节的传递函数都没有极点 ， 只有零点 。
理想纯微分环节只有一个零值零点 ， 一阶微分环节有一个负实数零点 ， 二阶微分环节有一对共轭复数的零点,在实际物理系统中 ， 由于惯性的普遍存在 ， 以至于很难实现理想的微分环节 。
如图2-13所示的RC电路 ， 其传递函数为显然 ， 只有当RC1时 ， 才有G(s 。

9、)RCs ， 电路才近似为纯微分环节,图2-13 RC电路,测速发电机,5.振荡环节振荡环节的微分方程为其传递函数为 (2-54)式中：T为时间常数；x为阻尼比；n1/T为无阻尼自然振荡频率,实际工程中 ， 如枢控电机、RLC网络、动力系统等等都可用振荡环节描述,RLC电路,弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统,6.延迟环节延迟环节又称滞后环节 ， 其输出延迟时间后复现输入信号 ， 延迟环节的微分方程为传递函数为,2.4.6 延时环节,工业上经常会遇到纯时间延迟或传输滞后现象 。
如各种传动系统（液压传动、气压传动、机械传动）和计算机控制系统 ， 有时需要经过一定的延迟时间 ， 才能允许输出对输入作出响应,轧辊处带钢厚度与检测厚度之间的传递函数是一个延时环节,1、传递函数定义和性质2、传递函数的表示方法3、典型环节及其传递函数,本节小结,作业：P66 2-13 。

来源：(未知)

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