1、23.3 向量数量积的坐标运算与度量公式预习课本 P112114 ，思考并完成以下问题(1) 平面向量数量积的坐标表示是什么？(2) 如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？ 新知初探 1向量数量积及向量垂直的坐标表示设 a( a1 ， a2)， b( b1 ， b2)(1) 数量积 a ba1b1a2b2.(2) 若 a ， b 为非零向量 ，ab ? a1b1a2b20. 点睛 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”2三个重要公式2 2 (1) 向量的长度公式：已知 a( a1 ， a2)， 则| a| a1a2 .(2) 两点间的距离公式： A( x1 ， y1)， B( x2 ， y2)， 则| A 。

2、B | x2x12 y2y12.(3) 向量的夹角公式： a( a1 ， a2)， b( b1 ， b2)， 则 cosa ， ba1b1a2b2.2 2 2 2a1a2 b1b2 小试身手 1判断下列命题是否正确 ( 正确的打“” ， 错误的打“ ”)(1) 向量的模等于向量坐标的平方和 ( )(2) 若 a( a1 ， a2)， b( b1 ， b2) ， 则 ab? a1b1a2b20.( )(3) 若两个非零向量的夹角 满足 cos 0 ， 则两向量的夹角 一定是钝角 ( )答案：(1) (2) (3) 2已知 a( 3,4)， b(5,2)， 则 a b 的值是 ( )A23 B7 C23 D 7答案： D3已知向 。

3、量 a( x5,3)， b(2， x)， 且 ab ， 则由 x 的值构成的集合是 ( )A2,3 B 1,6 C 2 D6答案： C4已知 a(1，3)， b( 2,0)， 则| ab| ________.答案： 2平面向量数量积的坐标运算 典例 (1)( 全国卷 ) 向量 a(1， 1)， b( 1,2)， 则 (2 ab) a( )A1 B0C1 D 2(2)( 广东高考 )在平面直角坐标系 xOy中 ， 已知四边形 ABCD是平行四边形 ，AB (1， 2)，AD (2,1)， 则 AD AC ( )A5 B 4C3 D 2 解析 (1) a(1， 1)， b( 1,2)， (2 ab 。

4、) a(1,0) (1，1) 1.(2) 由 AC AB AD (1， 2) (2,1) (3， 1)， 得 AD AC (2,1) (3， 1) 5. 答案 (1)C (2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算 ，前提是牢记有关的运算法则和运算性质 解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示 ，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开 ， 再依据已知计算 活学活用 已知向量 a 与 b 同向 ，b(1,2)， a b10.2(1) 求向量 a 的坐标；(2) 若 c(2，1)， 求 ( b c) a.解： (1) 因为a 与 b 同向 ， 又 b(1,2)， 所 。

5、以 ab( ，2) 又 a b10 ， 所以 1 2 2 10 ， 解得 20.因为2 符合 a 与 b 同向的条件 ， 所以 a(2,4) (2) 因为b c122( 1) 0 ， 所以 ( b c) a0 a0.向量的模的问题 典例 (1)设x ， yR ， 向量 a( x, 1)， b (1， y)， c(2，4)， 且 ac ， bc ， 则| ab| ( )A. 5 B. 10C2 5 D 10(2) 已知点 A(1， 2)， 若向量 AB 与 a(2,3) 同向 ，| AB | 2 13 ， 则点 B的坐标是________ 解析 (1) 由ac ， bc?2x 40 ， 2y 40?x2 ， y 2.a(2,1)，b( 。

6、1，2)， ab(3，1) | ab| 10.(2) 由题意可设AB a( 0)，AB (2， 3) 又 | AB | 2 13 ， (2 )2(3 ) 2(2 13) 2 ， 解得 2 或 2( 舍去 ) AB (4,6) 又 A(1，2)，B(5,4) 答案 (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1) 字母表示下的运算：利用 | a|2a2 ， 将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2) 坐标表示下的运算：32若 a( x ， y)， 则 a aa | a|2 2 2 22.x y， 于是有 | a| x y 活学活用 1已知向量 a(cos， sin )， 向 。

7、量 b( 3 ， 0)， 则|2 ab| 的最大值为 ________解析： 2ab(2cos 3 ， 2sin )， |2 ab| 32 2 4cos24 3cos 34sin2 74 3cos， 当且仅当 cos 1 时 ， |2 ab| 取最大值 2 3.答案： 2 32已知平面向量 a(2,4)， b(1,2)， 若 ca( a b) b ， 则| c| ________.解析：a(2,4)， b( 1,2)， a b2 ( 1) 4 2 6 ， ca( a b) b(2,4)6( 1,2) (2,4) ( 6,12) (8， 8)， | c| 8 2 2 28 2.答案： 8 2向量的夹角和垂直问题 典 。

8、例 (1) 已知 a(3,2)， b(1,2)， ( ab) b ， 则实数 ________.(2) 已知 a(2,1)， b( 1 ， 1)， cakb ， dab ， c 与 d 的夹角为 ， 则实数4k 的值为 ________ 解析 (1) a(3,2)， b( 1,2)， ab(3， 22) 又( ab) b ， ( ab) b0 ， 即(3 ) ( 1) 2 (2 2)0 ， 解得 1.54(2) cakb(2 k, 1k)，dab(1,0)， 由 cos42得2k k2k 2 k 2 1202 k 2 1202 ， 2(2 k)2 ( k1)2 ，k32.15 答案 (1) (2)32解决向量夹角问题的方法及 。

9、注意事项(1) 先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a b 以及 | a| b|， 再由 cos a b| a| b|求出 cos， 也可由坐标表示 cos a1 b1 a2b2直接求出 cos . 由三角2 2 2 2a1a2 b1b2函数值cos 求角 时 ， 应注意角 的取值范围是 0 .(2) 由于 0， 利用 cos a b| a| b|来判断角 时 ， 要注意 cos 0 也有两种情况：一是 为锐角 ， 二是 0. 活学活用 已知平面向量 a(3,4)， b(9， x)， c (4， y)， 且 ab ， ac.(1) 求 b 与 c；(2) 若 m2ab ， nac ， 求向量 m ， n 的夹角 。

10、的大小解： (1) a b ，3x49 ，x12.ac ， 34 4y0 ，y 3 ， b(9,12)， c(4，3) (2) m2ab(6,8) (9,12) (3 ，4)， nac(3,4) (4，3) (7,1) 设m ， n 的夹角为， 则cos m n| m| n|37 2 2 72122525 22.230，，4 ， 5即 m ， n 的夹角为34.求解平面向量的数量积 典例 已知点 A ， B ， C 满足| AB | 3 ， | BC | 4 ， | CA | 5 ， 求 AB BC BC CA CA AB 的值 解 法一 定义法 如图 ，根据题意可得 ABC为直角三角形 ，且 B2 ， cos A3 4 ，。

11、cos C ， 5 5 AB BC BC CA CA AB BC CA CA AB4 5cos( C) 5 3cos( A)20cos C15cos A2045153525. 法二 坐标法 如图 ， 建立平面直角坐标系 ， 则 A(3,0)， B(0,0)， C(0,4) AB ( 3,0)， BC (0,4)， CA (3， 4) AB BC 3 00 4 0 ， BC CA 0 34 ( 4) 16 ， CA AB 3 ( 3) ( 4) 09. AB BC BC CA CA AB 016925. 法三 转化法 | AB | 3 ， | BC | 4 ， | AC | 5 ， 6ABBC ，AB BC 0 ，AB BC。

12、BC CA CA AB CA ( AB BC ) CA AC | AC |225.求平面向量数量积常用的三个方法(1) 定义法：利用定义式 a b| a| b|cos 求解；(2) 坐标法：利用坐标式 a ba1b1a2b2 解题；(3) 转化法：求较复杂的向量数量积的运算时 ， 可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简 ， 然后进行计算 活学活用 如果正方形 OABC的边长为 1 ， 点 D ， E分别为 AB ， B C的中点 ， 那么 cos DOE的值为________解析：法一：以 O为坐标原点 ，OA ， OC所在的直线分别为 x 轴 ， y12轴建立平面直角坐标系 ， 如图所示 ， 则由已知条件 ， 可得 OD 1 ， O 。

13、E 12 ， 1 .OD OE故 cosDOE| OD | | OE |11 1 12 252524.51法二： OD OA AD OA 2 OC， 12OE OC CE OC OA， | OD | 5 ， | OE | 25 ， 21OD OE 2 OA122 OC21 ， cosDOEOD OE| OD | OE |45.7答案：45层级一 学业水平达标1已知向量 a(0，2 3)， b(1，3)， 则向量 a 在 b 方向上的投影为( )A. 3 B3C 3 D 3a b解析：选D 向量 a 在 b 方向上的投影为| b| 6 3.选D.22设xR ， 向量 a ( x, 1)，b(1，2) 。

14、， 且 ab ， 则| ab| ( )A. 5 B. 10C2 5 D 10解析：选B 由 ab 得 a b0 ， x11( 2) 0 ， 即 x2 ， ab(3，1)， | ab| 3 2 2 2 10.3已知向量 a(2,1)， b ( 1 ， k)， a (2 ab) 0 ， 则k( )A 12 B 6C6 D 12解析：选D 2ab(4,2) ( 1 ， k) (5,2 k)， 由 a (2 ab) 0 ， 得(2,1) (5,2k) 0 ，102k0 ， 解得 k12.4a ， b为平面向量 ，已知 a(4,3)， 2ab(3,18)， 则a ， b夹角的余弦值等于 ( )A.865B865C.1665D 1665解析：选 。

【2017|2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新】15、C设b( x ，y)， 则2a b(8 x, 6y) (3,18)， 所以8x 3 ， 6y 18 ， 解得x 5 ， y12 ， 故 b( 5,12)， 所以 cos a ， ba b| a| b|16 .6585已知 A( 2,1)，B(6，3)， C(0,5)， 则 ABC的形状是 ( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D 等边三角形解析：选A 由题设知 AB (8， 4)，AC (2,4)， BC ( 6,8)，AB AC28 (4) 4 0 ， 即 AB AC . BAC90 ， 故 ABC是直角三角形6设向量 a(1,2 m)， b( m1,1)， c (2， m) 若 ( a c)。

16、b ， 则|a| ________.解析： ac (3,3 m)， 由 ( a c) b ， 可得 ( ac) b0 ， 即 3( m1) 3m0 ， 解得 m12 ， 则a(1，1)， 故 | a| 2.答案： 27已知向量 a(1，3)， 2ab( 1 ，3)， a 与 2ab 的夹角为 ， 则 ________.解析： a(1，3)， 2ab( 1 ，3)， | a| 2 ， |2 ab| 2 ， a (2 ab) 2 ， a a b| a|2 a b|cos 12 ， 3.答案：38已知向量 a( 3 ， 1)， b 是不平行于 x轴的单位向量 ， 且 a b 3 ， 则向量 b 的坐标为________解析：设b( x ， y 。

17、)( y0)， 则依题意有x 2y21 ， 2y21 ， 3x y 3， 解得x y12 ， 3 ， 2故 b12 ， 32.答案： 1 ， 2329已知平面向量 a(1， x)， b(2 x3 ，x)，xR.9(1) 若 ab ， 求 x 的值；(2) 若 ab ， 求| ab|.解：(1) 若 ab ， 则 a b(1， x) (2 x3 ，x)1 (2 x3) x( x) 0 ， 2即 x 2x30 ， 解得 x1 或 x3.(2) 若 ab ， 则 1 ( x)x(2 x3) 0 ， 即 x(2 x4) 0 ， 解得 x0 或 x2.当 x0 时 ， a(1,0)， b(3,0)， ab( 2,0)， | ab| 2.当 x2 时 ， a(1。

18、 ， 2)， b( 1,2)， ab(2，4)， | ab| 4162 5.综上 ，| ab| 2 或 2 5.10在平面直角坐标系 xOy中 ， 已知点 A(1,4)， B( 2,3)， C(2，1) (1) 求 AB AC 及| AB AC | ；(2) 设实数 t 满足( AB t OC ) OC， 求 t 的值解：(1) AB ( 3 ， 1)，AC (1， 5)，AB AC 3 1 ( 1) ( 5) 2. AB AC ( 2 ，6)， | AB AC | 4362 10.(2) AB t OC ( 32t， 1t )， OC (2， 1)， 且( AB t OC ) OC， ( 。

19、 AB t OC ) OC 0 ， ( 32t ) 2( 1t ) ( 1) 0 ， t 1.层级二 应试能力达标1设向量 a(1,0)， b12 ， 12 ， 则下列结论中正确的是 ( )A| a| | b| Ba b22Cab 与 b 垂直 D ab102 2解析：选 C 由题意知 | a| 1 0 1 ， | b| 1221222 ， a b121201212 ， ( ab) ba b| b|1 22120 ， 故 ab 与 b 垂直2已知向量 OA (2,2)， OB (4,1)， 在 x 轴上有一点 P ， 使 AP BP 有最小值 ， 则点 P的坐标是 ( )A( 3,0) B(2,0)C(3,0) D (4,0)解析： 。

20、选 C 设 P( x, 0)， 则 AP ( x2 ， 2)，BP ( x4 ， 1)，AP BP ( x2)( x4) 2x26x10( x3)21 ， 故当 x3 时 ，AP BP 最小 ， 此时点 P的坐标为 (3,0) 3若 a( x, 2)， b( 3,5)， 且 a 与 b 的夹角是钝角 ， 则实数 x 的取值范围是 ( )A.， 103B.， 103C.103 ，D.103 ， 解析：选 C x 应满足 ( x, 2) ( 3,5) 0 且 a ， b 不共线 ， 解得 x103 ， 且 x65 ， 10x.34已知 OA ( 3,1)，OB (0,5)， 且 AC OB，BC AB ( O为坐标原点。

21、)， 则点 C的坐标是 ( )A. 3 ， 294294B. 3 ， 294C. 3 ， D. 3 ， 294解析：选 B 设 C( x ， y)， 则 OC ( x ， y) 又 OA ( 3,1)，AC OC OA ( x3 ， y1) AC OB， 5( x3) 0 (y1) 0 ， 11x 3. OB (0,5)，BC OC OB ( x ，y5)，AB OB OA (3,4) 29 BC AB，3x4( y5) 0 ，y ， 4C点的坐标是 3 ， 294.5平面向量 a(1,2)， b (4,2)， cmab( mR) ， 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角 ， 则m________.解析：因为向量。

22、a(1,2)， b(4,2)， 所以 cmab( m4,2 m 2)， 所以 a cm42(2 m 2) 5m8 ， b c4( m4) 2(2 m2) 8m20.因为c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角 ，所以c a|c| |a|c b|c| |b| ， 即a c b c| a| | b| ， 所以5m 858m20 ， 2 5解得 m2.答案： 26已知正方形 ABCD的边长为1 ， 点 E是 AB边上的动点 ， 则DE CB 的值为______；DE DC 的最大值为______解析：以 D为坐标原点 ， 建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0)，A(1,0)， B(1,1)， C(0,1)， 设E(1。

23、 ， a)(0 a 1) 所以 DE CB (1， a) (1,0) 1 ， DE DC (1， a) (0,1) a 1 ， 故 DE DC 的最大值为1.答案： 1 17已知 a ，b ， c 是同一平面内的三个向量 ， 其中 a(1,2) (1) 若| c| 2 5 ， 且 ca ， 求 c 的坐标；(2) 若| b| 5 ， 且 a2b 与 2ab 垂直 ， 求 a 与 b 的夹角 .2解： (1)设c(x ， y)，| c| 2 5 ，x2 y22 5 ， 12x 2y220.由 ca 和| c| 2 5 ， 可得1 y2 x0 ， 2y220 ， x解得x2 ， y4 ， 或x 2 ， y 4.故 c(2,4) 或 c( 2 ，4) (2) ( 。

24、 a2b) (2 a b)，( a2b) (2 ab) 0 ， 即 2a 23a b2b20 ， 25 3a b2540 ， 整理得 a b52 ， a bcos | a| b| 1.又 0，，.8已知 OA (4,0)，OB (2,2 3)，OC (1 ) OA OB ( 2) (1) 求 OA OB 及 OA 在 OB 上的射影的数量；(2)证明 A ，B ， C三点共线 ， 且当 AB BC时 ， 求 的值；(3) 求| OC | 的最小值解： (1) OA OB 8 ， 设OA 与 OB 的夹角为 ， 则cos OA OB| OA | OB |84412 ，OA 在 OB 上的射影的数量为| OA |cos 4122.(2) AB OB OA ( 2,2 3)，BC OC OB (1 ) OA (1 ) OB ( 1) AB， 所以 A ， B ， C三点共线当 AB BC时 ，11 ， 所以 2.(3)| OC |2(1 )2 OA2 2(1 ) OA OB 2 OB21312216 161616 212 ， 当 12时 ， | OC | 取到最小值 ， 为 2 3.14 。

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标题：2017|2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新