1、9.4 重积分的应用,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,解法1,解法2,二、曲面的面积,设曲面 的方程为：,如图 ， ,A,S,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,o,x,y,z,1,D,例2 求旋转抛物面z=x2+y2在平面z=1下面 的部分曲面的面积.,解:,所求面积的曲面的方程为z=x2+y2,x2+y21,曲面在xoy面上的投影区域D为:,三、物体的重心,设xoy平面上有n个质点,其质量分别,由静力学知, 该质点系的重心坐标,分别位于,为,为, 对 x 轴的 静 。

2、力矩, 对 y 轴的 静力矩,如图 ， 设一平面薄片占有平面区域D ， 面密度为,应用微元法 ， 易知其质量为,在区域D上任取一小区域,则有,设想这部分质量集中在点,于是得薄板,对坐标轴的静力矩微元为,将上述微元在D上积分 ， 得,于是 ， 薄板的重心坐标为,若薄板均匀 ，是常数 ， 则重心坐标为,（A为D的面积）,设物体占有空间域 ,有连续体密度函数,则,推广,则得形心坐标：,例3 设半径为1的半圆形薄板上各点处的面密度等于该点到圆心的距离 ， 求此半圆的重心 。
,解：建立如图所示的坐标系 ， ,其面密度函数为,所以重心坐标为,所以重心坐标为,例4,解,质点 A 对于轴 l 的转动惯量 J,惯量可用积分计算.,质点组的转动惯 。

【高等数学教学课件汇编|《高等数学教学课件汇编》9.4重积分应用】3、量等于各质点,和 A 与转动轴 l 的距离 r 的平方的乘积, 即,四、转动惯量,的转动惯量之和, 故连续体的转动,等于 A 的质量 m,设,在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元 ， ,因此该物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,其体积记为 dV(dV既表示区域又表示体积)， 质量为,把dV看作一质点 ， 该点到 z 轴的 距离为， ,为空间物体 V 的密度函数 ， 求 V 对,z 轴的转动惯量.,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,一般说来 ， 若 V 中的点 ( x , y , z ) 到转动轴 l 的距离为,则转动惯量为,如果物体 D 是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,一般说来 ， 若 D 中的点 ( x , y ) 到转动轴 l 的距离为,则转动惯量为,解,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,例6.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球面坐标 。

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