利用对易关系， 则,同理 由于坐标 与 的对称性 ， 可得， 故 3 不确定关系 若算符 和 不对易时 ， 常记为 是一个力学量算符或普通的数 。
首先定义,（29）,（30）,（31）,注意 ，仍为厄米算符 ， 若巧妙设计积分 利用 的厄米性 ， 可推出 最后得出不确定关系,（32）,（33）,（34）,（35）,两个力学量不对易时 ， 导致两力学量不能同时有确定值, 或者说 ， 它们不能有共同本征函数 。
对不确定关系 应着重掌握其物理意义 例如 所以 可见 ， 若动量确定 ，；则， 即位置 完全不 确定 。
试想 ， 动量为 的自由粒子以波长 的状态 （平面波） 。

8、弥散于空间时 ， 你能说出粒子的确定位置吗？,或,（36）,反之 ， 根据函数的性质 ， 坐标本征函数可写为 即位于 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面 波的叠加 ， 你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？ 总之 ， 不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点 ， 是粒子 具有波动性的必然结果 。
应用不确定关系估算一些力学量的 不确定范围可参见教材 。
,（37）,例题4 一维运动的粒子处在 求 解：归一化后可得 利用 有,所以,所以,满足不确定关系,4 运动恒量（守恒量） 4.1 力学量平均值随时间的变化 波函数 描写的状态随时间的变化 满足 方程 而这个状态中力学量的平均值随时加的变化为,（38）,利用（38） 。

【第三章 算符之间的对易关系|第三章算符之间的对易关系】9、式及其共轭式 ， 考虑到 的厄米性 ， 可得 4.2运动恒量（守恒量） （39）式中 ， 若算符 不显含时间 ， 则， 并且 有， 则有,（39）,力学量平均值随时间的变化规律,（40）,平均值不随时间变化的力学量 ， 称为运动恒量 。
或：满足 的不显含时间的力学量 为体系的运动恒量 。
请回答：对哈密顿算符， 下面哪些力学量 是运动恒量（守恒量）： 对于 （ 为常数）呢？,4.3守恒量的特点 守恒量具有如下特点 ， 即体系在任何状态下： （1）其平均值不随时间而变化； （2）其概率分布不随时间而变化 。
证明特点（2）： 因为， 故 具有共同本征函数系，任意状态可表为 式中 即为守恒量 在 态中的概率 ， 且概率分布函,（41）,（42）,所以 故有 其中 为 时力学量的概率分布函 ， 所以 即守恒量 的测量概率与时间无关 ， 即概率分布不随时间 而变化 。
,（43）,（44）,（45）,4.4 宇称守恒 4.4.1 宇称算符 即空间反演算符 ， 它的作用是把波函数中的 它是厄米算符 ， 它的本征值只有，即 4.4.2 态函数的宇称,（46）,4.4.3 宇称守恒 若体系哈密顿量具有空间反演不变性 则 即， 亦即 是一个守恒量 ， 或者说 描写的系统的宇称是不变的 ， 称为宇称守恒定律 。

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标题：第三章 算符之间的对易关系|第三章算符之间的对易关系( 二 )