1、力学量算符之间的对易关系,讨论微观态 中某一力学量 时 ， 总是以 的本征值谱作 为力学量 的可能值 。
若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题 。
主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理:,1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 与 之和 定义为 为任意函数 一般， 例如粒子的哈 密顿算符是动能算符 与势能算符 之和 （2）算符之积：算符 与 之积定义为,（1）,（2）,算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒 个相同算符 的积定义为算符 的 次幂 例如 则 为了运算上的方便 ， 引入量 。

2、子括号,（3）,（5）,若 称算符 与 是不对易的（不能交换位置） 即 若 称算符 与 是对易的 即 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明,（6）,（7）,1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易 动量算符是微分算符 因为 则 坐标算符与动量算符：设 为任意函数,（12）,（13）,比较后可得 但是 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 其中 坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系 ， 其它力学量的对易关系均可由此导出 。
,（14a）,（14b）,(14c),1.3 角动量算符的对易关系 只证明其中一个 ， 请注意证明方法 记忆方法：从左至右以 依次循 。

3、环指标为 正 ， 任何一个指标错位即为负 ， 相同指标则为零 。
,(15),以相同的推导方法和记忆规律 ， 有 另外有,（16）,（17）,（18）,1.4 几个重要的推论 (1) (2) （3）球坐标下 是 的函数 ， 若有径向函数算符 则,（19）,（20）,（21）,（22）,2 共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 和 有一个共同的本征函数， 则必有 及， 即在 态中可以同时确定 这两个力学量的数值 ， 那么 这似乎提醒我们有， 但下结论过早 ， 因为 这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ） ， 如果 和 有 一组完备的共同本征函数 ， 对于任意态函数,（23）,有 则 这时才说 和 是 。

4、对易的 。
这个结论可以推广到多个算 符 ， 即 如果一组算符有共同的本征函数完备系， 则这组算符对易 例如 即在 态中 同时有确定值 及， 所以 是 的共同的本征函数 ， 并且是完备的 ， 所以,（24）,2.2 逆定理：如果一组算符对易 ， 则这组算符有组成完备 系的共同的本征函数 。
这里仅就非简并本征函数系加以证明 若算符 和 相互对易 ， 对于 的本征函数， 有 可见 也是算符 的属于本征值 的本征函数 。
已经 假定 非简并 ， 所以对应 的两个本征函数 和 最多 只能相差一个常数 ， 所,（26）,（25）,（27）,可见 ，同时也是 的属于本征值 的本征函数 。
同 理 ， 对 的其它本征函数也有此结论 。
所以 ，和 有组。

5、成完备系的共同的本征函数 。
例如 ， 角动量算符， 所以它们有组成完备系的 共同的本征函数， 在 态中 ， 力学量 同时有确定值 及。
氢原子哈密顿算符 所以 ，对易 ， 它们有组成完备系的共同的本征函 数， 在该台中三者同时有确定值：,（28）,2.3 力学量完全集 有些情况下 ， 力学量 的本征值是全部简并或部分简 并的 ， 一个本征值对应若干个本征函数 。
所以 ， 只以 的本 征值不足以完全确定本征函数 ， 这时必定存在和 独立且和 对易的其它力学量。
如果 的共同的本征函数仍然 有简并 ， 则必定还存在独立于 而又和 对易的其它 力学量，的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算 。

6、符 ，如果它们的共同的本征函数是非简并的 ， 即这组本征值完全 确定一个共同本征函数 ， 则这组力学量称为力学量完全集 。
完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度 。
请大家将一 维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对照一 下 。
（注意：完全集中力学量的数目一般 体系的自由度）,例题一 任意态 求 态中 的可能值、概率及。
解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成 ，列表对应求解：,解法二 由 得 由 正交归一性得,例题二 在对某一状态进行测量时 ， 同时得到能量 能唯一确定这一状态吗？ 解：能 。
因为三个力学量对易 ，故共同本征态为,例题三 求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均 值。
解：首 。

7、先应注意 ，是 的共同本征函数 ， 而 不对易 ， 故 不是 的本征函数 。

来源：(未知)

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标题：第三章 算符之间的对易关系|第三章算符之间的对易关系