1、一、一般欧氏空间中的正交变换,二、n 维欧氏空间中的正交变换,4 正交变换,一、一般欧氏空间中的正交变换,1.定义,即， ,欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变 ， ,则称 为正交变换.,注：,欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度,不变的正交变换的推广.,2.欧氏空间中的正交变换的刻划,下述命题是等价的：,（定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换.,3） 保持向量间的距离不变 ， 即,2） 保持向量长度不变 ， 即,1） 是正交变换；,证明：首先证明1)与2)等价,即 ， ,两边开方得 ， ,若是正交变换 ， 则,有 ， ,(1),(2),若保持向量长度不变 ， 则对,把(3)展开得 ， ,再由(1)(2)即得 ， ,(3 。

2、),是正交变换,再证明2)与3)等价,根据）,故 3）成立.,若,则有 ， ,即 ， ,故 2）成立.,二、 维欧氏空间中的正交变换,1. 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基,不变的线性变换,是V的标准正交基 ， 则 也是V,的标准正交基.,1).若 是 维欧氏空间V的正交变换 ， ,事实上 ， 由正交变换的定义及标准正交基的性质,即有 ， ,2).若线性变换 使V的标准正交基 变成,变换,标准正交基， 则 为V的正交,证明：任取 设,由 为标准正交基 ， 有,故 是正交变换,又,由于为标准正交基 ， 得,2. 维欧氏空间V中的线性变换是正交变换,设 为V的标准正交基 ， 且,证明：,的标准正交基 ， ,当 是正交变换时 ， 由1知 。

【沈阳|沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第九章§4正交变换】3、 也是V,而由标准正交基 到标准,正交基 的过渡矩阵是正交矩阵.,设 为V的标准正交基 ， 且,再由 1 即得为正交变换,由于当A是正交矩阵时 ，也是V 的,即 ， ,标准正交基 ， ,所以 ， A是正交矩阵,1）正交变换的逆变换是正交变换；,2）正交变换的乘积还是正交变换,3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射,因而有 ， ,（由同构的对称性可得之）,（由同构的传递性可得之）,4. 维欧氏空间中正交变换的分类：,设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基,1）如果 则称为第一类的（旋转）;
,2）如果 则称为第二类的,下的矩阵是正交矩阵A ， 则,例、在欧氏空间中任取一组标准正交基,定义线性变换 为：,则为第二类的正交,变换 , 它是一镜面反射 。

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标题：沈阳|沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第九章§4正交变换