1、高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：与切线相关问题（一设切点 ， 二求导数= 斜率 = y2y1， 三代切点入切线、曲x2x1线联立方程求解）；其它问题（一求导数 ， 二解 f (x) =0 的根 若含字母分类讨论 ， 三列 3 行 n 列的表判单调区间和极值 。
结合以上所得解题 。
）特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值 。
导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造 ， 一对多涉及到求和转化 。
关注几点：恒成立：（1 ）定义域任意 x 有 f (x) k, 则 f ( x) min 常数 k ；（ 2） 定义域任意 x 有 f ( x) k, 则 f (x)max 常数 k恰成立：（1 ）对 。

2、 定义域内任意 x有 f ( x)g( x) 恒成立 ， 则【 f ( x)-g (x)】min 0,（2）若对定义域内任意 x 有f (x) g(x)：恒成立 ， 则【f ( x)-g(x) max0】能成立：（ 1 ）分别定义在 a,b和c,d上的函数 f ( x)和 g ( x)，对任意的 x1 a, b, 存在x2 c, d , 使得 f (x1 ) g(x2)，则 f ( x)max g( x)max（2 ）分别定义在 a,b和c,d上的函数 f ( x)和 g( x)， 对任意的 x1 a,b, 存在 x2 c, d,使得 f (x1) g(x2)，则 f ( x)ming ( 。

3、x)min一、考纲解读考查知识题型：导数的概念 ， 导数的几何意义 ， 几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式 ， 利用导数研究函数的单调性和极值 ， 函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值 。
1 f (x)x33x22 在区间1,1 上的最大值是 22已知函数 yf ( x)x(x c) 2在 x2 处有极大值 ， 则常数c 6；3函数 y1 3xx3有极小值 1,极大值 3第1页共9页题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线 y 4xx3在点1, 3 处的切线方程是yx 22若曲线 f ( x)x4x 在 P 点处的切线平行于直线3x y0 。

4、， 则 P 点的坐标为（1 ，0）3若曲线 y x4的一条切线 l 与直线 x4 y80垂直 ， 则 l的方程为4xy 3 04求下列直线的方程：（ 1）曲线 y x3x2 1 在 P(-1,1)处的切线；（ 2）曲线 yx 2过点 P(3,5)的切线；解：（ 1）点 P(1,1) 在曲线 yx3 x 21上 ， y /3x2 2 xk y/ | 1321x所以切线方程为y1x1， 即 xy20（ 2）显然点 P（3 ，5）不在曲线上 ， 所以可设切点为A( x0 , y0 )， 则 y0x02又函数的导数为y /2 x， k/|x x02x02 x0y05A(x, y)A( x, y)x3所以过0点的切 。

5、线的斜率为y ， 又切线过、P(3,5)点 ， 所以有 ， 由联0000x01 或x05k2 x2;
立方程组得 ， y01y025 ， 即切点为（1 ，1）时 ， 切线斜率为；当切点为（5 ，25）时 ， 切线斜10率为 k22x010 ；所以所求的切线有两条 ， 方程分别为y12( x1)或y2510( x5) ， 即y2x1或 y 10x25题型三：利用导数研究函数的单调性 ， 极值、最值1已知函数 f ( x) x3ax 2bxc,过曲线 yf (x)上的点 P(1, f (1) 的切线方程为 y=3x+1（）若函数f ( x)在 x2 处有极值 ， 求f (x) 的表达式；（）在（）的条件下 ， 求函数yf (x) 在 3 ，1 上 。

6、的最大值；（）若函数yf ( x) 在区间 2 ，1上单调递增 ， 求实数b 的取值范围解：（ 1）由 f ( x)x3ax2bxc,求导数得 f ( x)3x 22axb.过yf ( x)上点 P(1, f (1)的切线方程为：yf (1)f(1)( x1),即 y(ab c1) (3 2ab)( x1).而过 yf ( x)上 P1, f (1)的切线方程为 y3x1.32ab3即 2ab0故 ac3ac3 yf ( x)在 x2时有极值 ,故 f (2)0,4ab12 f ( x)32（ 2） f ( x)3x24x4(3x 2)( x 2).由得a=2 ，b= 4 ， c=5x2 x4 x5. 。

7、3 x2时, f ( x)0;
当 2 x2 时, f ( x) 0;
当3第2页共9页当 2x时, f ( x)0.f ( x)极大f (2)1331又 f (1)4,f ( x) 在 3 ，1上最大值是 13 。
（ 3） y=f(x)在 2 ， 1上单调递增 ， 又f (x)3x22axb, 由知 2a+b=0 。
依题意 f( x) 在 2 ，1 上恒有 f(x) 0 ， 即 3x 2bxb0.xb1时, f ( x)minf(1)3bb0,b66当；xb2时 , f( x) minf (2)122bb0,b当6；261时 , f( x) min12bb 20, 则0b6.当b12综上所述 ， 参数b 的取值范围 。

8、是 0,)2已知三次函数f (x)x3ax2bxc 在 x1和 x1时取极值 ， 且f (2)4 (1)求函数 yf (x) 的表达式； (2)求函数 yf ( x) 的单调区间和极值；(3)若函数 g ( x)f ( xm)4m (m0) 在区间 m3, n 上的值域为 4,16， 试求 m 、 n 应满足的条件解： (1)f( x)3x22axb， 由题意得 ，1,1是 3x22ax b0 的两个根 ， 解得 ，a0, b3 再由 f (2)4 可得 c2 f ( x)x33x2 (2)f (x)3x233( x1)( x 1)， 当 x1 时 ，f( x)0 ；当 x1时 ，f(x)0 ；当1x 。

9、1时 ，f(x)0；当 x 1 时 ，f ( x)0 ；当 x1 时 ，f ( x)0 函数 f (x) 在区间 (, 1 上是增函数；在区间 1, 上是减函数；在区间1,) 上是增函数 。
函数f ( x) 的极大值是f ( 1) 0， 极小值是f (1)4 (3)函数 g (x) 的图象是由f ( x) 的图象向右平移m 个单位 ， 向上平移4 m 个单位得到的 ， 所以 ， 函数f ( x) 在区间 3, nm 上的值域为 44m,164m （ m0 ）而 f ( 3)20 ，44m20， 即 m4于是 ， 函数f ( x) 在区间 3, n4 上的值域为 20, 0 令 f (x)0 得 x1或 x2 由 。

10、 f ( x) 的单调性知 ， 1剟 n42， 即 3 剟n6 综上所述 ，m 、 n 应满足的条件是：m4， 且 3 剟 n6 3设函数 f (x)x( xa)( xb) （ 1）若 f ( x) 的图象与直线 5xy80 相切 ，切点横坐标为 ，且 f (x) 在 x1 处取极值 ，求实数 a, b的值；第3页共9页（ 2）当 b=1 时 ， 试证明：不论a 取何实数 ， 函数 f ( x)总有两个不同的极值点解：（ 1） f ( x)3x22(ab)x ab.由题意 f(2)5, f (1) 0， 代入上式 ， 解之得：a=1 ，b=1（ 2）当 b=1 时 ， 令 f( x) 0得方程 3x22( a 1 。

11、)xa 0.因4(a 2a 1)0,故方程有两个不同实根 x1 , x2 不妨设 x1x2， 由 f (x)3( xx1 )( xx2 ) 可判断 f ( x) 的符号如下：当 x x1时 ， f ( x) ；当 x1x x2时 ，f(x) ；当 xx2时 ， f (x) 因此 x1 是极大值点 ， x2 是极小值点 ， 当 b=1 时 ， 不论 a 取何实数 ， 函数f ( x) 总有两个不同的极值点 。
题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是 f （x）的导函数 ， f / ( x ) 的图象如右图所示 ， 则f （ x）的图象只可能是（ D）（ A）（ B）（ C）（ D）y1 x34x 1的图像为( A )2函数36 。

12、yy6yy6644442222-4 -2o 2 4xxy 2 4xox-4-2o 2 4-2-2-2-4-224-2-4-4-4-43方程 2x3 6 x27 0在(0, 2)内根的个数为( B )A 、 0B、 1C、 2D、 3题型五：利用单调性、极值、最值情况 ， 求参数取值范围f (x)1 x32ax 23a2 xb,0a1.1设函数3（ 1）求函数 f( x) 的单调区间、 极值 . （ 2）若当 x a1, a2时 ， 恒有 | f( x) | a， 试确定 a 的取值范围 .解：（ 1）f ( x)x24ax 3a2=(x3a)(xa) ， 令f( x)0得x1 a, x23a列表如下：x（ 。

13、 -， a） a（ a ，3a） 3a（ 3a ， +）f (x)-0+0-第4页共9页f ( x)极小Z极大 f (x) 在（ a ，3a）上单调递增 ， 在（-，a）和（ 3a ， +）上单调递减f极小 ( x)b4a3f极小 (x)bx a时 ， 3 ，x3a 时 ， （ 2） f(x)x24ax3a2 0a1， 对称轴 x 2a a1 ，f( x) 在 a+1，a+2 上单调递减fMax(a1)24a(a1)3a22a 1 ， fmin(a2) 24a(a2)3a24a 4依题| f(x) |a|f Max |a ， | f min | a即| 2a1|a,| 4a4 | a4a 1 ， 又 0a1 4,1) 。

14、解得 5a 的取值范围是522已知函数 f （ x） x3 ax2 bx c 在 x 3 与 x 1 时都取得极值（1）求 a、 b 的值与函数f （ x）的单调区间（ 2）若对 x 1 ，2 ， 不等式 f （x）c2 恒成立 ， 求 c 的取值范围 。
解：（ 1）f （ x） x3 ax2 bx c ， f（ x） 3x22ax b 212 4 a b0 1由 f （3） 93 ，f （ 1） 3 2ab 0 得 a2，b 2f （ x） 3x2 x2（ 3x 2）（ x1） ， 函数 f （ x）的单调区间如下表：x2221（ 1 ， ）（ ， 3） 3（ 3， 1）f （ x） 00f （ x）极大值极小值 。

15、22所以函数 f （ x）的递增区间是（ ，3 ）与（ 1 ， ） ， 递减区间是（3， 1）1222（ 2） f （x） x3 2 x2 2x c ，x 1 ，2 ， 当 x 3 时 ，f （ x） 27 c为极大值 ， 而f （2） 2c ， 则 f （2） 2c 为最大值 。
要使 f （x）c2（ x 1 ，2）恒成立 ， 只需c2 f （2） 2c ， 解得 c 1 或 c 2题型六：利用导数研究方程的根v133 , 1).v21已知平面向量 a =(b =( 2 ,).vvvuvv vvuv（ 1）若存在不同时为零的实数k 和 t， 使 x = a +(t2 3)b，y=-k a +t b，x y， 试求 。

16、函数关系式 k=f(t)；(2) 据 (1) 的结论 ， 讨论关于 t的方程 f(t) k=0 的解的情况 .第5页共9页vuvvuvvvvv解： (1) x y，xy =0即 a +(t2-3) b (-k a +t b )=0.v2vvv2整理后得 -ka+t-k(t2-3)ab+ (t2-3) b =0v vv2v21 ， 即 k= 4 t(t2-3) a b =0 ，a=4 ，b =1 ， 上式化为 -4k+t(t2-3)=011(2) 讨论方程 4 t(t2-3)-k=0的解的情况 ， 可以看作曲线f(t)=4 t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数 .33于是 f (t)=4 (t2-1)= 。

17、4 (t+1)(t-1).令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1. 当 t 变化时 ，f (t)、 f(t)的变化情况如下表：t(- ,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f (t)+0-0+F(t)极大值极小值1当 t= 1 时 ，f(t)有极大值 ，f(t) 极大值 =2 .1当 t=1 时 ，f(t)有极小值 ，f(t)极小值 =21函数 f(t)=4 t(t2-3)的图象如图13 2 1 所示 ， 可观察出：11(1)当 k 2 或 k 2 时 , 方程 f(t) k=0 有且只有一解；11(2)当 k= 2 或 k= 2时, 方程 f(t) k=0 有两解；1 1(3) 当 2。

18、k 2 时 , 方程 f(t) k=0 有三解 .题型七：导数与不等式的综合1设 a 0,函数 f (x) x3ax 在 1,) 上是单调函数 .（ 1）求实数 a 的取值范围；（2）设 x0 1 ，f (x) 1 ， 且 f ( f (x0 )x0， 求证： f ( x0 )x0 .解：（ 1） y f ( x) 3x 2a, 若 f (x) 在 1,上是单调递减函数 ， 则须 y0,即 a 3x 2 , 这样的实数 a 不存第6页共9页在 . 故 f ( x) 在 1,上不可能是单调递减函数 .若 f (x) 在 1,上是单调递增函数 ， 则a 3x2 ， 由于 x1,故 3x23 . 从而 0a 3.（ 。

【高考|高考导数题型分析及解题方法(2)】19、 2）方法 1、可知 f (x) 在 1,上只能为单调增函数 .若 1 x0f ( x0 )， 则 f (x0 )f ( f ( x0 )x0 矛盾 , 若1 f ( x0 )x0 ,则 f ( f ( x0 )f (x0 ),即 x0f ( x0 ) 矛盾 ， 故只有f ( x0 ) x0 成立 .方法 2：设f (x0 ) u,则 f (u) x0 ， x03ax 0 u, u 3aux0 ,两式相减得( x03u 3 ) a(x0u) u x0(x0u)( x02x0 uu 21a)0,x0 1,u 1 ， x02x0u u 23,又 0 a3 ， x02x0u u 21 a 02已知 a 为实数 ， 函数 。

20、f (x) ( x23 )( x a)x 轴平行的切线 ， 求a 的取值范2（ 1）若函数 f ( x) 的图象上有与围（ 2）若 f( 1)0， （）求函数f (x) 的单调区间x1、 x2( 1,0)| f ( x1 )f ( x2 ) |5（）证明对任意的 ， 不等式16 恒成立Q f ( x) x3ax23 x3 af ( x) 3x22ax3解：22， 2Q 函数 f ( x)的图象有与x 轴平行的切线 ， f ( x) 0 有实数解4a24 3 30 a29（ ，32 U3 2 ，）2 ， 2， 所以 a 的取值范围是223 2a30 a9f ( x) 3x29 x33( x1)( x 1)Q f 。

21、 ( 1) 0， 2 ， 4， 222x10,1由 f (x) 0, xf (x)1 x1或2 ；由2f ( x) 的单调递增区间是(, 1),(1 ,)(1,1)2；单调减区间为2f (1)25f (1 )49f (0)27易知 f (x) 的最大值为8，f (x) 的极小值为216， 又82749f ( x) 在 1 ， 0 上的最大值Mm8 ， 最小值16第7页共9页| f (x1 ) f (x2 ) | M27495对任意 x1 , x2( 1,0)m1616 ， 恒有8题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷 。
它下部的形状是高为1m 的正六棱柱 ， 上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所 。

22、示） 。
试问当帐篷的顶点O到底面中心o1 的距离为多少时 ， 帐篷的体积最大？解：设 OO1为 x m， 则 1x4由题设可得正六棱锥底面边长为：32( x1)282xx 2 ， （单位： m ）3332)， （单位： m2故底面正六边形的面积为：64(82xx2 )2=2(82xx）（） 3 32) 1( x1)13 (1612xx3 )帐篷的体积为：Vx2(82 xx32（单位： m3）V（ x）3(123x2 ) 。
令 V（x） 0， 解得 x2 （不合题意 ， 舍去），x 2， 求导得2当 1（ ）0， V （x）2x（ ）0， V （x）x 2 时 ，Vx为增函数；当4时 ，Vx为减函数 。
当 x 。

23、2 时 ， V（ x）最大 。
答：当 OO1为 2m 时 ， 帐篷的体积最大 ， 最大体积为163m3 。
2统计表明 ， 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米 / 小时）的函数解析y1x33 x8(0x120).式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距100 千米 。
（ I ）当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时 ， 从甲地到乙地要耗油多少升？（ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时 ， 从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？1002.5解：（ I ）当 x40 时 ， 汽车从甲地到乙地行驶了40小时 ， (14033408)2.517.5要耗没 12800080（升） 。
100（ 。

24、 II ）当速度为 x 千米 / 小时时 ， 汽车从甲地到乙地行驶了x小时 ， 设耗油量为h( x) 升 ， h( x) (1x33x8). 1001x280015 (0 x 120),依题意得12800080x1280x4第8页共9页h (x)x800x3803(0x120).令 h (x)0, 得 x80.640x2640x2当 x(0,80)时 ，h (x)0, h( x) 是减函数；当 x(80,120) 时 ，h ( x)0, h(x) 是增函数 。
当 x80 时 ，h(x) 取到极小值 h(80)11.25.因为 h( x) 在 (0,120 上只有一个极值 ， 所以它是最小值 。
答：当汽车以40 千 。

25、米 / 小时的速度匀速行驶时 ， 从甲地到乙地耗油17.5升 。
当汽车以 80千米 / 小时的速度匀速行驶时 ， 从甲地到乙地耗油最少 ， 最少为11.25 升 。
题型九：导数与向量的结合r(3 ， 1r(1 ， 3a2), b).1设平面向量22 2若 存 在 不 同 时 为 零 的 两 个 实 数 s 、 t及 实 数 k，使xa (t 2k )b, ysatb,且 xy ， （ 1）求函数关系式 Sf (t) ；（ 2）若函数 Sf (t ) 在 1 ， 上是单调函数 ， 求 k 的取值范围 。
a(3 ,1 ), b( 1 ,3 ).rrrrab ， 0解：（ 1）22221 a ?brurrur0 ， 得又 xy, x ? yr（2rrr ， a）（sa）tk btb0即r 2（2r 2（2rr 。
sa） -t st）t tk bsk a b 0s（t2）t ， 故s（ ）t3 。
k0ftkt（ 2）f （ t） 3t 2k且 f（ t）在 1 ， 上是单调函数 ， 则在 1,上有 f(t )0或 f （ t）0 由 f(t)03t 2k0k 3t 2k(3t 2 )mink 3 ；由 f (t )03t 2k0k3t 2。
因为在 t 1,上 3t 2是增函数 ， 所以不存在k ， 使 k3t 2在 1,上恒成立 。
故k 的取值范围是 k 3。
第9页共9页 。

来源：(未知)

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