1、2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时 ， 请依据本评分标准.第一试 ， 选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题 ， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同 ， 只要思路合理 ， 步骤正确 ， 在评卷时请参照本评分标准划分的档次 ， 给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分 ， 每小题7分）1已知 ， 那么的大小关系是 （ ）A. B. C. D.【答】C.因为 ， 所以 ， 故.又， 而 ， 所以 ， 故.因此.2方程的整数解的组数为 （ ）A3. B4. C5. D6.【答】B.方程即 ， 显然必须是偶数 ， 所以可设 ， 则原方程变为 ， 它的整数解为从而可求得原方程的整数解为 ， 共 。

2、4组.3已知正方形ABCD的边长为1 ， E为BC边的延长线上一点 ， CE1 ， 连接AE ， 与CD交于点F ， 连接BF并延长与线段DE交于点G ， 则BG的长为 （ ）A B C D【答】D.过点C作CP/BG ， 交DE于点P.因为BCCE1 ， 所以CP是BEG的中位线 ， 所以P为EG的中点.又因为ADCE1 ， AD/CE ， 所以ADFECF ， 所以CFDF ， 又CP/FG ， 所以FG是DCP的中位线 ， 所以G为DP的中点.因此DGGPPEDE.连接BD ， 易知BDCEDC45 ， 所以BDE90.又BD ， 所以BG.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共7页）4已知实数满足 ， 则的最小值为 （ ）A. B0. 。

3、 C1. D.【答】B.因为 ， 所以 ， 从而 ， 故 ， 因此 ， 即.因此的最小值为0 ， 当或时取得.5若方程的两个不相等的实数根满足 ， 则实数的所有可能的值之和为 （ ）A0. B. C. D.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得 ， 所以 ， .又由得 ， 所以 ， 所以 ， 所以.代入检验可知：均满足题意 ， 不满足题意.因此 ， 实数的所有可能的值之和为.6由1 ， 2 ， 3 ， 4这四个数字组成四位数（数字可重复使用） ， 要求满足.这样的四位数共有 （ ）A36个. B40个. C44个. D48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字 ， 组成的四位数可以是1111 ， 2222 ， 3333 ， 4444 ， 共有4个. 。

4、（2）使用2个不同的数字 ， 使用的数字有6种可能（1、2 ， 1、3 ， 1、4 ， 2、3 ， 2、4 ， 3、4）.如果使用的数字是1、2 ， 组成的四位数可以是1122 ， 1221 ， 2112 ， 2211 ， 共有4个；同样地 ， 如果使用的数字是另外5种情况 ， 组成的四位数也各有4个.因此 ， 这样的四位数共有6424个.（3）使用3个不同的数字 ， 只能是1、2、2、3或2、3、3、4 ， 组成的四位数可以是1232 ， 2123 ， 2321 ， 3212 ， 2343 ， 3234 ， 3432 ， 4323 ， 共有8个.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共7页）（4）使用4个不同的数字1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 组成的四位数可以是1243 ， 13 。

5、42 ， 2134 ， 2431 ， 3124 ， 3421 ， 4213 ， 4312 ， 共有8个.因此 ， 满足要求的四位数共有4248844个.二、填空题：（本题满分28分 ， 每小题7分）1已知互不相等的实数满足 ， 则_________【答】 .由得 ， 代入得 ， 整理得 又由可得 ， 代入式得 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 所以.验证可知：时；时.因此 ， .2使得是完全平方数的整数的个数为 【答】 1设（其中为正整数） ， 则 ， 显然为奇数 ， 设（其中是正整数） ， 则 ， 即.显然 ， 此时和互质 ， 所以或或解得.因此 ， 满足要求的整数只有1个.3在ABC中 ， 已知ABAC ， A40 ， P为AB上一点 ， ACP20 ， 则 【答】 .设D为BC的中点 ， 在ABC外作CAE20 ， 则B 。

6、AE60.作CEAE ， PFAE ， 则易证ACEACD ， 所以CECDBC.又PFPABAEPA60AP ， PFCE ， 所以APBC ， 因此.4已知实数满足 ， 则 【答】 . 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共7页）因为 ， 所以.同理可得 ， .结合可得 ， 所以.结合 ， 可得.因此 ， .实际上 ， 满足条件的可以分别为.第二试 （A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数 ， 周长为30 ， 求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（） ， 则.显然 ， 三角形的外接圆的直径即为斜边长 ， 下面先求的值.由及得 ， 所以.由及得 ， 所以.又因为为整数 ， 所以. 5分根据勾股定理可得 ， 把代入 ， 化简得 ，。

7、所以 ，10分因为均为整数且 ， 所以只可能是解得15分所以 ， 直角三角形的斜边长 ， 三角形的外接圆的面积为. 20分二（本题满分25分）如图 ， PA为O的切线 ， PBC为O的割线 ， ADOP于点D.证明：.证明：连接OA ， OB ， OC. OAAP ， ADOP ， 由射影定理可得 ， . 5分2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共7页）又由切割线定理可得 ， D、B、C、O四点共圆 ， 10分PDBPCOOBCODC ， PBDCOD ， PBDCOD ，20分 ， . 25分三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P ， 与轴的正半轴交于A、B（）两点 ， 与轴交于点C ， PA是ABC的外接圆的切线.设M ， 若AM/BC ， 求 。

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