1、行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强.理论上 ， 任何一个行列式都可以按照定义进 行计算 ， 但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的.本文在总 结已有常规行列式计算方法的基础上 ， 对行列式的计算方法和一些技巧进行了 更深入的探讨.总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径.关键词：行列式计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法它起源于解线性方程 ， 以后逐步地应用到数学的其它领域行列式的计算通常要根据行列式的具体特点 ， 采用相应的计算方法这里介绍几种常见的 ， 也是行之有效 的计 。

2、算方法.1. 对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种 ， 记忆起来很方便 ， 但它只适用于二阶和三阶行列式 ， 四阶及以上的行列式就不能采用此方法.2. 定义法根据行列式定义可知 ， 如果所求的行列式中含的非零元素特别少 （一般不多 于2n个） ， 可以直接利用行列式的定义求解 ， 或者行列式的阶数比较低（一般是2阶或者3阶）.如果对于一些行列式的零元素 （若有）分布比较有规律 ， 如上 （下）三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解.例1计算行列式这是一个四级行列式 ， 在展幵式中应该有4! 24项.但是由于出现很多的零 ， 所以不等于零的项数就大大减少了.我们具体地来看一下.展幵式中项的一般 形式 。

3、是ai jia2j2a3j3a4j4 .显然 ， 如果h 4 ， 那么a1j1 0 ,从而这个项就等于零.因此只须考虑h 4的那些项；同理 ， 只需考虑 j2 3 ， j3 2 ， j4 1这些列指标的项.这就是说 ， 行 列式中不为零的项只有 814823832 a41面的符号应该是正的.101 2 3 4 240所以0 0 0原式=0 0 20 3 04 0 03. 化为三角形计算法例2计算行列式解:0这个例子尽管简单 , 但化三角形这一方法 , 在计算行列式中占有十分重要 的地位 ,而化为三角形的方法又有很多种 , 下面介绍的 1、2、3、4 这三种都可 以作为化三角形的几种手段 , 当然它们除化为三角形外 , 。

4、 还有其它的作用各行 （ 或列 ） 加减同一行 （ 或列 ） 的倍数 适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例 3 计算行列式解：当 n 3 时 ， 各列减去第一列得： 之所以等于零 ， 是因为有两列成比例另外 ， 当 n 2 时 ， 这个例子还附带说明 , 有时题目并没有指定级数 , 而行列式之值与级数有关时 还需进行讨论说明各行 （ 或列 ） 加到同一行 （ 或列 ） 上去 适用于各列 （ 行） 诸元素之和相等的情况 .例 4 计算行列式 解：把所有各列都加到第一列上去 ， 得：逐行（或列） 相加减 有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零 。
这样就使得行列式计算 变得简便的多 .例 5。

5、计算行列式解：从第一列开始 ， 每列乘以 2 加到后一列 ， 得: 再将最后一行乘以（-2 ）,加到倒数第二行 ， 其余行都不变 ， 得: 按最后一列展幵 ， 得行（列）归一法先把某一行（列）全部化为1 ， 再利用该行（列）以及行列式的性质将原行列 式化为三角形行列式 ， 从而求出行列式的值.例6计算n阶行列式解：它的特点是各列元素之和为（n i）a x ， 因此把各行都加到第一行,后第一行再提出（n i）a x ， 得将第一行乘 a分别加到其余各行 ， 化为三角形行列式,4.特殊行列式爪型行列式形如:a 。
b ci aC2a2bna2biaia 。
CiC2CnananbnC2Cia 。
a2a2b2bnC2aiCib2ba 。
的行列式 ， 称为 。

6、爪型行列式这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消 去“横线”或“竖线” ， 化为三角形行列式再计算.例7计算行列式1 列,解 当ai0（i i,2, ,n）时 ， 将第i+i列乘以浮） 。
i,2, n）后都加到第ai得三角型行列式:例8计算行列式分析：一般除主对角线上的元素 ， 其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式 ， 利用例 6结论计算其值.Ci (1)CiD(2 x)2 x222(2xx00x)(x)y0(x)yx00y2 0 ( x) y ( y)x2y2(y)从而利用上述递推公式得例10证明三对角线型行列式形如:biCiab2a2的n阶行列式 ， 是指主对角线上元素与主对角线b3Cn 1an 1 。

7、bi称为上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式, 三对角线型行列式.这类行列式的计算可以直接展幵得到两项递推关系式 ， 然 后变形进行两次递推 ， 或利用第二数学归纳法证明.例9计算n阶行列式解按第一行展幵得 变形 Dn aDni b(Dn 1 aDn 2) ， 由于2 2 2Di a b, D2 (a b) ab a ab b， 故有解按第n行展幵得采用第二数学归纳法证明n 1 时 ， D- cos a结论成立.设n k时 ， 结论成立.则当n k 1时 ， 有按第1列展幵得故有归纳假设知Dn cos naHesse nberg 型行列式形如:aociD ab2C2 a2G a b2bn的行 。

8、列式 ， 即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外 ， 其余元素全为零的三线型行列式 ， 称为Hessenberg型行列式.这一类行列式可以直接展幵得到递推公式 ， 也可利用行列式性质化简并降阶.例11计算n阶行列式解按第一列展幵得 于是例12计算n阶行列式解将第1,2, ,n 1列加到第n列 ， 得两线形行列式例13计算行列式解：结论对于形如:等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶利用范德蒙行列式计算 范德蒙行列式是一类特殊的行列式 ， 利用范德蒙行列式公式计算某些行列 式时 ， 要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点 ， 或类似于范德蒙行列式的特 点 ， 这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式 ， 然后再利用 。

9、公式计算出结 果例14设f(x) c c1xCnXn.用线性方程组的理论证明 ，若是f(x)有n 1个不同的根 ， 那么f(x)为零多项式.证明：设 ai,a2, a. i 为 f (x)的根 ， 且 ai a)(i j). 则将根代入多项式得到如下线性方程组： 以co,Ci,C2, ,Cn为未知量 ， 则线性方程组的系数矩阵为： 因为齐次线性方程组的系数矩阵不为 0 ， 故系数矩阵只有零解 ， 即： 所以f(x)为零多项式.5. 降阶法一般降阶法根据行列式理论中的拉普拉斯定理 , 行列式的计算可转化为 k 阶子式及 其相应的代数余子式的乘积之和 . 但此方法计算量偏大 , 仅适用于行列式中元 素为 0 较多的情 。

10、形 . 同时 , 涉及一些比较复杂的、 元素含文字或未知量的行列 式 , 仅用此方法是不够的 .例 15 计算四阶行列式 解：观察行列式 ， 可以选择第二行展开 ， 但是第二行有两个非零元素 ， 先 用性质将 3 也化为零 ， 即利用公式降阶公式1设A , B都是n阶方阵 ， 则有证明：由于两边去行列式 ， 得例16计算行列式解利用公式1公式2设A ，B ， C均为n阶方阵 ， 则证明：把拉普拉斯定理用于上式的后r行 ， 在它的所有n阶子式中 ， 除| C外 ， 其余至少包含一列零向量 ， 从而值为零.而C的余子式为 B ， 且C位于整个矩阵的第n 1, n 2, ,n n行 ， 第1,2, ,n列 ， 因此其中 s (n 1) (n 2) (n n) 。

11、 (1 2 n)其n2 2(1 2 n) n2 偶数即有例17计算行列式解 直接利用行列式的性质或行列式展幵进行计算是相当繁杂的 ， 而由公式2原式=(1)32b a 00 b a0 0ba0 b0a 00 0ab3证明：设D中取定k行后得到的子式为 M1,M2, ,Mt,它们的代数余子式分利用拉普拉斯定理定理1:设在行列式D中任意取定了 k(1k n 1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .别为A1, A2, , At,定理要求证明根据行列式D的任一个子式M与它的代数余子式 A的乘积中每一项都是行列式D展幵式中的一项 ， 而且符号也一致 ， 所以MiA中每一 。

12、项都是D中一项而且符号相同 ， 而且 MiA和MjAj(i j)无公共项.因此为了证明定理 ， 只要证明等 式两边项数相等就可以了 显然等式左边共有n!项 ， 为了计算右边的项数 ， 首先来求出t .根据子式的取法知道t kn!Cnk!?nk)T 因为Mi中共有k!项 ， A中共有(n k)!项.所以右边共有项.定理得证.例18求行列式解：在行列式D中取定第一、二行得到六个子式：它们对应的代数余子式为根据拉普拉斯定理从例子来看 ， 用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的这个定理主要是理论方面的应用.6. 析因子法如果行列式有一些元素是变量x的多项式 ， 那么可以将此行列式看作一个多项式f(x) ， 然后利用多项式理论 ， 求出 。

13、f(x)的互素的一次因式 ， 进而求出行列式值的方法 ， 称为“析因子法”例19计算行列式：解：可以把原式看成关于变量x的4次多项式f(x).由f( 1)112 3112 32 3 152 3 1811122233及 f( 2)2315231500知 ， f (x)有因式x 1、x 2 ， 且f (x)关于x的最高次数为4,故又由原式知 ， f (x)中含x4的项为(2 数为3 .因此 ， k3 ， 从而原式x2) (9 x2)及 4(2 x2) (9 x2) ， 故 x4 的系 3(x2 1) (x2 4).而行列式Dn的值为Dn 1按最后一列展幵式 yn 1项的系数乘以(1)2n 1.例20计算行列式:解：可以把原式看成 。

【行列式|行列式的计算】14、关于变量x的n 1次多项式f (x) ， 由于故f (x)有因式x (2 a)、x (3 a)、x (n a) ， 且f (x)关于x的最高次数为 n 1 ， 从而 ， f (x) k(x a 2)(x a 3) (x a n) ， 由原式知 ， 原行列式关于 x的 最高次项的系数为1 ， 故k 1.因此 ， 原式 (x a 2)(x a 3) (x a n).7. 加边法加边法是把原行列式添加一行一列且其值不变 ， 所得的新行列式反而容易求出其值.该方法主适用于除主对角线上元素外 ， 各行(列)对应的元素分别相同的题型.添加行与列的方式一般有五种:(1)首行首列 首行末列 末行首列(4)末行末列以及(5) 般行列的位置.(1)添加 。

15、在末行末列例21计算行列式解:(2)添加在一般位置例22计算行列式解：通过添加行列得：易见Dn 1是范德蒙行列式 ， 则8.拆分法本法主要依行列式的性质 , 将给定的行列式表为几个行列式的和 , 使新得的行列式便于计算如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成这样的两 项之和 ， 使得其中某列的每个元素的第1 项（或第 2 项）与另一列对应元素的某一项相同或成比例 ， 则一般可考虑用“拆分法” 例 23 计算当 n 3 时解 按第一列之和分解为把某 1行（ 或列 ） 的元素写成两数和的形式 , 再利用行列式性质将原行列式写 成 2 个行列式的和 , 使问题简化以利于计算 例 24 计算行列式解：对上面的第 。

16、一个行列 ，将第n列乘（b）加到其余各列上 ， 对第二个行列式按第 n列展开 ， 最后可得这样 ， 我们获得一个递推公式：Dn a（ b）n 1 aDn 1如果将 Dn 按下面方式拆项 ， 又可得到 类似于前面的方法可得另一个递推公式：Dn b（ a）n 1 bDn 1联立上述两个递推关系式n1Dn a( b)n 1 aDn 1n1Dn b( a)n 1 bDn 1当 a b 时 ， 解得当 a b 时 ， 解得9. 递推与归纳这种方法是根据行列式性质 , 把一个 n 阶行列式表示为一个或若干个具有 相同形状但阶数较低的行列式的关系式 , 再利用关系式推出这个 n 阶行列式的 值.一般情况下 , 主要方法有 :递推法 。

17、 1） 递推公式法就是先将行列式表示两个（或几个 ）低阶同型的行列式的线性关系式 ， 再用递推关系及某些低阶（2阶,1阶）行列式的值求出 D的值. 该方法适用于行 （ 列）中 0较多的或主对角线上、下方元素相同的题型归纳法 2） 当行列式已告诉其值 , 且值与自然数有关时 , 一般用数学归纳法证 明结果的正确性 . 如果未告诉结果 , 也可由递推关系式和前面几个低阶行列式 的值, 通过观察猜想原行列式的值 . 然后用数学归纳法证明猜想的正确性 .1） 利用已给的行列式的特点 ，建立起 n 阶行列式与 n 1阶行列式 （或更低阶） 行列式之间递推关系式 ， 利用此关系式求行列式的值降阶递推法 ， 常见的有。

18、两类：（1）Dn lDn 1型 ， 此时根据递推关系有： Dn ln1D1（2）Dn pDn 1 qDn 2（n 2,q 0） 型 ， 此时我们不妨设，是方程 x2 px q 0 的根 ， 则由根与系数的关系 ，得 p, q， 将其带入 Dn pDn 1 qDn 2中 ，有：下面分两种情况进行讨论：（1）利用 Dn,Dn 1进行递推解: 而 D1 x例 25 计算行列式根据递推关系式可得(2)利用Dn,Dn i,Dn 2进行递推例26求行列式解：由于Dn 2Dn i Dn 2 ；则不妨设， 是方程X? 2X 1 0的根 ， 则:于是：其中：所以：即2100012100原行列式二01200n 1000210 。

19、00122)归纳法例27计算行列式解：按一行展幵得 后一行列式按第一列展幵 ， 得递推公式易于算出代入递推公式得于是自然猜想证实这个结论 ， 可以利用第二归纳法此处从略10.作辅助行列式证明：因为A1 2n例28设fi（X）, f2（x）, ,fn（X）为次数不超过n 2的函数 ， 设1, 2, , n为任意数 ，证明:解法一设那么 ， 由马上得证.解法二刚才是作两个辅助行列式 ， 现在作一个新行列式由题设不难得知Dn是X的不超过n 2次的一个多项式 ， 然而它有n 1个根2 ,3 , n所以：Dn（X）0 .特别有证毕.11. 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时 ， 可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍 ，。

20、这种方法叫作滚动消去法.一般利用此方法后 ， 最好在化简后行列 式的第一行或者列能产生较多的零 ， 以便利用降级法来做.例29计算行列式解：从第二行幵始每行减去上一行 ， 有12. 特征值法设1, 2, , n是n级矩阵A的全部特征值 ， 则有公式A 1 2n .故只要能求出矩阵A的全部特征值 ， 那么就可计算出A的行列式.例30若1, 2, , n是n级矩阵A的全部特征值 ， 证明：A可逆当且仅当它的特征值全部为零.贝 y A 是可逆的 A 012 n 0 i 0(i 1 ， n)13. 微积分法例31计算行列式解：易知Dn的结果是一个关于未知参数x的多项式 ， 根据n阶行列式求导公式：下面对它求导：设 Dn f(x) ， 则 。

21、 f (x) nxn 1 ， 所以：又当x 0时 ， f(0) ( 1)n12n ， 所以故原行列式的值为 Dn xn ( 1)n 12n.14. 换元法这种方法应用于当以同一个数改变行列式的所有元素时 ， 其各元素的代数余子式容易计算的情形它基于下面的性质 ， 设n则D1 D x Aj ， 其中Aj是元素4的代数余子式.i,j 1例32计算行列式解：把Dn的所有元素都加上x得：D的非主对角线元素的代数余子式等于零 ， 而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积所以 ， 例33求证证明作行列式Dg可见D( a) f(a) ， D( b) f (b).根据行列式的性质可知D(x)是x的一次多项式,以可令D(x)cx。

22、d ， 又因为D(0)d D ， 所以所以：D af(b) bf(a). a b注释：以上几种方法已将n阶行列式的计算方法大部分囊括在内 ， 虽然方法很多 ， 但不难掌握我们解答问题时 ， 要重视方法分析 ， 着重培养解决问题的能力和技巧 ， 形成良好的数学思维 ， 在今后的数学学习中应该多多注意.参考文献：1 王萼芳 ， 石生明高等代数(第三版)【M】.北京：高等教育出版社 ， 2003:181 320.2 钱吉林.高等代数解题精粹(修订版)【M .北京：中英民族大学出版社 ， 2002:189.3 钱吉林.行列式的计算技巧【J】.华中师院学报 ， 1840 ， (3):103111.4 张军生.一类递归沂列式的计算方法【J】.唐山师专学报 ，。

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标题：行列式|行列式的计算