13、数列的性质 ， 考查等比数列的通项公式和前项和公式 ， 考查用基本不等式求最值 ， 求最值时要注意等号成立的条件18. 设.若平面上点P满足 ， 对于任意,有 ， 则的最小值为________ ， 此时________.【答案】 (1). (2). 6【解析】【分析】【详解】由可知点P到直线AB的距离为3.设AB的中点为O.由极化恒等式得：.此时.三、解答题：本大题共4个小题 ， 共计142+162=60分.请在解答时写出必要的文字说明、证明过程.19. 在中 ， 求的值；若 ， 求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由 ， 根据正弦定理可得 ， 从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出 ， 再根据诱导公式以及两角和正弦公式求 。

14、出 ， 利用三角形面积公式计算即可【详解】（1） ， 由正弦定理可得.（2）若 ， 则 ， 又由可得 ， 【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式 ， 属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具 ， 其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角 ， 求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边 ， 求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20. 如图 ， 在四棱锥中 ， 平面 ， 为的中点 ， 在上 ， 且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）点是线段上异于两端点的任意一点 ， 若满足异面直线与所成角为 ， 求的长.【答案】（1）证明过程见 。

15、解析；（2）；（3）.【解析】【分析】以A为空间直角坐标系的原点 ， 以所在的直线为横轴、纵轴、竖轴 ， 求出相应点的坐标.（1）求出平面的法向量 ， 利用空间向量数量积运算进行计算证明即可；（2）利用空间平面向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间平面向量夹角公式 ， 结合空间两点距离公式进行求解即可,【详解】以A为空间直角坐标系的原点 ， 以所在的直线为横轴、纵轴、竖轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 所以.（1）因为平面 ， 平面 ， 所以 ， 又因为 ， 平面 ， 所以平面 ， 因此平面的法向量为 ， 因为在上 ， 且 ， 所以有 ， 所以点的坐标为 ， 因此 ， 因为 ， 所以 ， 因此平面；（2）由（1）知平面的法向量为 ， 设平面的法向量为 ， 显然有： ， 令 ， 所以 。

16、 ， 即 ， 设平面与平面所成锐二面角 ， 所以；（3）设 ， 设 ， 所以有 ， 因此 ， 所以 ， 因为异面直线与所成角为 ， 所以 ， 解得或（舍去） ， 所以 ， .21. 已知数列中 ， .（1）求证：数列是等比数列.（2）记是数列的前项和：求；求满足的所有正整数.【答案】（1）证明见详解；（2）；满足的所有正整数有和.【解析】【分析】（1）设 ， 推导出 ， 由此能证明数列是等比数列；（2）推导出， 由 ， 得，， 从而；：由的求和式子由此能求出满足Sn0的所有正整数n的值【详解】（1）设 ， 因为 ， 所以数列是以即为首项 ， 以为公比的等比数列.（2）由（1）得， 即 ， 由 ， 得， 所以， 显然当时 ， 单调递减 ， 又当时 ， 当时 ， 所以当时 ， ； ， 同理 ， 当且仅当时 。

17、 ， 综上 ， 满足的所有正整数为和.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的证明 ， 考查满足数列的前n项和的正整数的最大值的求法 ， 解题的关键是根据等比数列的通项公式得出 ，， 考查等比数列、分组求和法等基础知识 ， 考查运算求解能力 ， 考查函数与方程思想22. 已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）求的最大值和最小值；（3）设 ， 证明：.【答案】（1）在 ， 单调递增；在上单调递减；（2） ， ；（3）证明见详解.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式 ， 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号 ， 最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性 ， 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值 。

【天津市耀华中学2021届高三数学上学期第二次月考试题?含解析?|天津市耀华中学2021届高三数学上学期第二次月考试题?含解析?】18、；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ， 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： ， 则： ， 在上的根为： ， 当时 ， 单调递增 ， 当时 ， 单调递减 ， 当时 ， 单调递增.(2)注意到 ， 故函数是周期为的函数 ， 结合(1)的结论 ， 计算可得： ， 据此可得： ， (3)结合(2)的结论有：【点睛】思路点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具 ， 而函数是高中数学中重要的知识点 ， 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义 ， 往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间 ， 判断单调性；已知单调性 ， 求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值) ， 解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 。

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标题：天津市耀华中学2021届高三数学上学期第二次月考试题?含解析?|天津市耀华中学2021届高三数学上学期第二次月考试题?含解析?( 三 )