1、湖北省荆州市沙市中学2020届高三数学下学期5月第三次模拟试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题 ， 每小题5分 ， 共60分.在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， 集合 ， 则( )A. B. C. 输D. 【答案】B【解析】【分析】由集合 ， 集合求即可.【详解】解:由集合 ， 集合 ， 则,故选:B.【点睛】本题考查了集合交集的运算 ， 属基础题.2.已知复数满足（其中为虚数单位） ， 则的虚部为（ ）A. B. -2C. D. 2【答案】B【解析】分析】根据复数除法的四则运算 ， 分子分母同时乘以分母的共轭复数 ， 整理出复数代数形式的标准形式 ， 得到答案.【详解】.故选：B【点睛】本题考 。

2、查复数的基本概念和复数的四则运算 ， 属于基础题.3.中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法.某大学开设这四门课供学生选修 ， 男生甲选其中三门课进行学习 ， 已知他选修了京剧 ， 则他选修书法的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出4门课程里选3门课程（京剧已选）的基本事件的个数 ， 再求出从4门课程里选3门课程他选修了京剧 ， 且选修书法的基本事件的个数 ， 然后结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】解：因为4门课程里选3门课程（京剧已选） ， 再从剩下的3门课程中选2门即可 ， 共有京剧 ， 武术 ， 中医 ， 京剧 ， 武术 ， 书法 ， 京剧 ， 中医 ， 书法3种不同的选择 ， 又从4门课程里选3门课程他选修了京剧 ， 且选 。

3、修书法共有京剧 ， 武术 ， 书法 ， 京剧 ， 中医 ， 书法 2种不同的选择 ， 所以选书法的概率为 ， 故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式 ， 属基础题.4.已知 ， 则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将两边同时平方 ， 再结合同角三角函数的关系及二倍角公式求解即可.【详解】解：因为 ， 两边同时平方得 ， 所以 ， 所以 ， 故选：C.【点睛】本题考查了二倍角公式 ， 重点考查了同角三角函数的关系 ， 属基础题.5.设等差数列前项和为 ， 若 ， 则（ ）A. 13B. 15C. 17D. 19【答案】D【解析】【分析】因为 ， 可得 ， 从而求出 ， 根据等差数列的性质可计算的值.【详解】因为 ， 所以 ， 即 ， 解得 ， 所以.故选：D 。

4、【点睛】本题考查等差数列基本量的计算 ， 考查等差数列的通项公式 ， 属于基础题.6.公元5世纪 ， 我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值：（称之为“约率”）和（称之为“密率”）一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为1） ， 如果取圆周率为“约率” ， 则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】该图为三棱锥和半圆锥组成 ， 按棱锥和圆锥的体积公式计算 ， 体积公式中的代值计算时用计算即可.【详解】如图 ， 组合体有半个圆锥与一个三棱锥放一起形成 ， 所以故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体并求体积 ， 考查棱锥和圆锥体积公式 ， 考查新概念的理解 ， 属于基础题.7.函数的图象可 。

5、能是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性 ， 再结合特殊变量对应的函数值的符号判断即可得解.【详解】解：由函数 ， 则 ， 所以为偶函数 ， 又偶函数图像关于轴对称 ， 所以B ， D不正确 ， 又因为 ， 即C不正确 ， 故选：A.【点睛】本题考查了偶函数图像的性质 ， 重点考查了函数图像的对称性 ， 属基础题.8.菱形中 ， 点为线段的中点 ， 则为( )A. B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】先建系 ， 再结合向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】解：建立如图所示坐标系 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 故选：B.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算 ， 重点考查了运算能力 ， 属基础题.9.数列的前项和为 ， 满足 ， 则 。

6、( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由数列的递推关系可得当为奇数时 ， 所以奇数项为以1为首项 ， 2为公比的等比数列；当为偶数时 ， 所以偶数项为以3为首项 ， 4为公比的等比数列 ， 再结合等比数列前项和的求和公式求解即可.【详解】解：由 ， 当为奇数时 ， 所以奇数项为以1为首项 ， 2为公比的等比数列；当为偶数时 ， 所以偶数项为以3为首项 ， 4为公比的等比数列 ， 所以 ， 故选：A.【点睛】本题考查了等比数列前项和的求和公式 ， 重点考查了等比数列的判断 ， 属基础题.10.点在直线上 ， 则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断出点的轨迹 ， 然后结合直线与圆的位置关系求解即可. 。

7、【详解】解：因为 ， 所以的轨迹是半径为1的圆 ， 直线恒过与圆有公共点 ， 如图 ， 临界为相切时刻 ， 所以 ， 故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系 ， 重点考查了数形结合的数学思想方法 ， 属基础题.11.已知双曲线：的左右焦点分别为 ， 过且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点 ， 若 ， 则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因为 ， 所以点P在以为直径的圆上 ， 且圆心为O ， 所以 ， 已知 ，， 所以根据正切函数的二倍角公式可计算的值 ， 进而求得双曲线的离心率.【详解】 ， 所以点P在以为直径的圆上 ， 且圆心为O ， 又已知 ， .故选：D【点睛】本题考查求双曲线离心率 ， 考查正切函数的二倍角公式 ， 考 。

8、查数形结合的数学思想 ， 属于中档题.12.设函数 ， 若有两个零点 ， 则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将表示为关于的函数 ， 再利用导数求函数的值域即可得解.【详解】解：由可知 ， 又 ， 令 ， 则 ， 则函数在为减函数 ， 在为增函数 ， 又 ， 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用 ， 重点考查了利用导数求函数的值域 ， 属中档题.二、填空题：本题共4小题 ， 每小题5分 ， 共20分.13.曲线在处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】先求出函数的导函数 ， 然后结合导数的几何意义求解即可.【详解】解：由 ， 得 ， 则 ， 即当时 ， 所以切线方程为： ， 故答案为：.【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线 。

9、方程的求法 ， 属基础题.14.设 ， 满足约束条件 ， 则的最小值是______【答案】2【解析】【分析】根据条件画出约束条件所表示的可行域 ， 再利用几何意义求最值 ， 的几何意义是轴上纵截距的2倍 ， 所以只需求出在轴上纵截距的最小值 ， 则可得出结果.【详解】如图 ， 不等式组所表示的平面区域 ， 令 ， 移动此直线 ， 当目标函数过取得最小 ， 且故答案为：.【点睛】本题考查线性规划求最值问题 ， 考查线性目标函数的几何意义 ， 属于基础题.15.设抛物线：焦点为 ， 斜率为正数的直线过焦点 ， 交抛物线于 ， 两点 ， 交准线于点 ， 若 ， 则直线的斜率为______.【答案】【解析】【分析】先分别过 ， 作准线的垂线 ， 垂足分别为 ， 由抛物线的定义有 ， 然后再求解即 。

10、可.【详解】解：分别过 ， 作准线的垂线 ， 垂足分别为 ， 则为中点 ， 在中 ， 设 ， 则 ， 故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的定义 ， 重点考查了直线与抛物线的位置关系 ， 属中档题.16.如图 ， 边长为4的正方形 ， 为中点 ， 为边上一动点 ， 现将 ， 分别沿 ， 折起 ， 使得 ， 重合为点 ， 形成四棱锥 ， 过点作平面于.平面平面；当为中点时 ， 三棱锥的体积为；为的垂心；长的取值范围为 .则以上判断正确的有______（填正确命题的序号）.【答案】【解析】【分析】对于 ， 由面面垂直的判断定理即可判断；对于 ， 利用等体积法求三棱锥的体积即可；对于 ， 假设为垂心 ， 则 ， 平面 ， 可得 ， 又不恒为2 ， 对于 ， 沿将折到四边形内 ， 即位置 ， 此时沿翻折 ， 由可得.【详解】解 。

11、：对于 ， 如图所示 ， 所以折起后不变 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面平面 ， 即正确；对于 ， 当为中点时 ， 即正确；对于 ， 当运动时 ， 若为垂心 ， 则 ， 平面 ， 又 ， 平面 ， 即 ， 又不恒为2 ， 即不正确；对于 ， 如图（3）沿将折到四边形内 ， 即位置 ， 此时沿翻折 ， 如图 ， 即正确 ， 故答案为：.【点睛】本题考查了线与面的位置关系 ， 重点考查了空间几何体的体积的运算 ， 属中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题 ， 每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题 ， 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中 ， 角 ， 的对边分别为 ， 满足.（1）求角；（2）若 ， 的面积为 ， 求的周长.【答案】（1 。

12、）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得 ， 结合运算即可；（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.【详解】解：（1）由正弦定理可得 ， 则；（2）由余弦定理可得 ， 得 ， 化简得 ， 又 ， 则 ， 解得 ， 或 ， 所以三角形周长为.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理 ， 重点考查了三角形的面积公式 ， 属基础题.18.如图 ， 四棱锥 ， 平面 ， 底面梯形 ， 为中点.（1）证明：直线；（2）若平面与棱交于 ， 求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明平面 ， 再证明即可；（2）先证明为四棱锥的高 ， 再结合棱锥的体积公式求解即可.【详解】证明：（1）证明：如图 ， 连结 ， 在中 ， 易得 ， 在中 ， 又平面 ， 又 ， 平面 。

13、 ， 又平面 ， ；（2）取中点 ， 连结 ， 在中 ， 分别为 ， 中点 ， 又 ， 四点共面 ， 即为平面与棱的交点；平面 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 为中点 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 即为四棱锥的高.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及线线垂直的证明 ， 重点考查了棱锥的体积的求法 ， 属中档题.19.2019年春节前后 ， 中国爆发新型冠状病毒（SARS-Cov-2）如图所示为1月24日至2月16日中国内地（除湖北以外的）感染新型冠状病毒新增人数的折线图 ， 为了预测分析数据的变化规律 ， 建立了与时间变量的不同时间段的两个线性回归模型.根据1月24日至2月3日的数据（时间变量的值依次为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11）建立模型：；根据2月4日至2月 。

14、16日的数据（时间变量的值依次为12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 16 ， 17 ， 18 ， 19 ， 20 ， 21 ， 22 ， 23 ， 24）建立模型：.1月24日1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日1月30日1月31日2月1日2月2日2月3日12345678910113321742983374485936907377206489262月4日2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日2月13日2月14日2月15日2月16日12131415161718192021222324830741693683559464431377377299259211160（1）求出两个回归直线方程；（计算 。

15、结果取整数）（2）中国政府为了人民的生命安全 ， 听取专家意见 ， 了解了病毒信息 ， 并迅速做出一系列的隔离防护措施 ， 但新冠状病毒在世界范围内爆发时 ， 某些欧美国家采取放任的态度 ， 不治疗、不隔离、不检测 ， 甚至不公布 ， 请你用以上数据说明采取一系列措施的必要性 ， 不采取措施的后果.参考数据： ， 参考公式：.【答案】（1） ， ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）结合题设的参考数据及参考公式求回归方程即可；（2）利用回归方程 ， 结合题设对应图像分析即可得解.【详解】解：（1）当时 ， 所以模型：；当时 ， 所以模型：；（2）由图可观察出除湖北外由于我国的隔离防护等一系列措施的实施 ， 从2月3日以后新冠状病毒新增确诊病例出现了拐点 。

16、 ， 逐渐减少 ， 呈下降的趋势 ， 效果显著；假如不采取措施 ， 任由其发展 ， 按模型的规律发展下去 ， 在2月16日 ， 即时 ， 新增确诊病例预测为 ， 是采取措施后的十几倍 ， 所以任何国家和政府都应把人民生命财产安全放在首位.【点睛】本题考查了线性回归直线方程的求法 ， 重点考查了阅读能力及对数据的处理能力 ， 属基础题.20.函数 ， .（1）设是函数的导函数 ， 求的单调区间；（2）证明：当时 ， 在区间上有极大值点 ， 且.【答案】（1）在上单调递减 ， 在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 然后解不等式 ， 求解即可；（2）先利用零点定理证明为函数的极大值点 ， 再构造函数 ， 利用导数证明即可.【详解】解：（1）定义域 。

17、为 ， 则 ， 令 ， 由 ， 在上单调递减 ， 在上单调递增；（2）由（1）可知在上单调递减 ， 由 ， 设 ， 使得 ， 即时 ， 时 ， 所以为函数的极大值点. ， 即 ， 将代入整理得： ， 设 ， 则 ， 在上单调递减 ， 所以当时 ， 恒成立.【点睛】本题考查了导数的综合应用 ， 重点考查了利用导数证明不等式恒成立 ， 属中档题.21.已知椭圆：的离心率为 ， 左右顶点分别为 ， 右焦点为 ， 为椭圆上异于 ， 的动点 ， 且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于点 ， 过点作的平行线交轴与点 ， 试探究是否存在定点 ， 使得以为直径的圆恒过定点.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）由当在轴时 ， 面积最大 ， 得 ， 然后结合求解即可；（2）先设 ， 求出点 ， 的坐标 ， 然后求 。

【湖北剩州市沙市中学2020届高三数学下学期5月第三次模拟试题文?含解析?|湖北剩州市沙市中学2020届高三数学下学期5月第三次模拟试题文?含解析?】18、出以为直径的圆的方程 ， 再结合在椭圆上 ， 代入方程整理得圆的方程为 ， 然后令 ， 求解即可.【详解】解：（1）由题意知 ， 当在轴时 ， 面积最大 ， 所以 ， 又 ， 联立 ， 得 ， 所以椭圆的方程为.（2）设 ， 其中 ， 则 ， 所以直线的方程为 ， 令 ， 得 ， 即 ， 又 ， 所以直线的方程为 ， 令 ， 得 ， 即 ， 所以 ， 以为直径的圆的方程为： ， 又 ， 且在椭圆上 ， 所以 ， 代入方程整理得圆的方程为 ， 令 ， 则 ， 所以存在点 ， 使得以为直径的圆恒过点.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法 ， 主要考查了圆的方程 ， 重点考查了运算能力 ， 属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中 ， 曲线的参数方程为 。

19、（为参数） ， 以原点为极点 ， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线的直角坐标方程和极坐标方程；（2）若将曲线绕点逆时针旋转得到曲线 ， 曲线与曲线交于 ， 与轴分别交于 ， 求三角形的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用公式 ， 把参数方程 ， 极坐标方程和直角坐标方程互换.（2）由题意写出曲线的直角坐标方程 ， 联立曲线求得点坐标 ， 再求出点坐标 ， 由三角形面积公式求解.【详解】解：（1）曲线的参数方程为（为参数） ， 化为直角坐标方程为： ， 化为极坐标方程为： ， 化简得：.（2）曲线绕点逆时针旋转得到曲线 ， 方程为 ， 联立 ， 解得：.在中 ， 令得：.所以三角形的面积为：.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直 。

20、角坐标的互化 ， 考查圆与圆的位置关系 ， 考查学生的计算能力 ， 属于中档题.23.已知（1）当时 ， 解不等式；（2）若关于的不等式有解 ， 求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知： ， 由零点分段法 ， 去绝对值 ， 解不等式 ， 求并集 ， 可得所求解集.（2）原不等式等价于 ， 运用零点分段法讨论的最小值 ， 再由不等式的解法可得所有范围.【详解】解：（1）当时 ， 即求解：.等价于或或 ， 解得：或或.所以原不等式解集为：.（2）有解等价于：有解.当 时 ，， 为先减后增函数 ， 且在时有最小值.所以 ， 即；当时 ， 为先减后增函数 ， 且在时有最小值 ， 所以 ， 即.所以的值范围是.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式 ， 考查不等式有解问题 ， 考查学生分类讨论的思想 ， 考查学生的计算能力 ， 属于中档题 。

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