1、北京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题报考专业：物理学各专业考试科目代码：609考试科目名称：量子力学注意：1.本试题满分为 150 分 ， 考试时间为180分钟 。
2.请将答案全部写在报考点提供的答题纸上 ， 本试题上作答无效 。
一、回答问题（50分）1 若粒子处于稳定状态的波函数为已知 ， 试求下面问题概率的计算公式；（1） 粒子Z坐标值出现在Z1-Z2范围内的概率(5分) 。
（2） 粒子Py动量值出现在P1-P2范围内的概率(5分) 。
（3） 粒子Py动量值出现在P1-P2范围内 ， 同时Z坐标值出现在Z1Z2范围内的概率(5分) 。
2 在量子力学中 ， 关系是否成立？为什么？(5分)3 若氢原子在t= 。

【10|10年北京师范大学量子力学试题(总3页)】2、0处在状态中 ， 求t时刻氢原子的波函数 。
(5分)4 描述微观粒子的运动方程为什么必须是线性的 ， 而且对时间的导数必须是一阶的？(5分)5 轨道角动量平方的本征值是2 ， 写出的本征值(5分) 。
6 不对易的厄米算符是否一定没有共同的本征函数？若有请举例说明(5分) 。
7 量子力学中的守恒量是如何定义的？（5分） ， 守恒量有什么性质？（5分） 。
二、设某体系的哈密顿不显含时间 ， 且 。
若t=0时刻体系处于能量取值分别为E1、E2 、E3 ， 相应的概率分布为1/2、1/4、1/4的状态 。
试写出该时刻体系态矢量的一种可能表达式 ， 及t0时的一种可能表达式 。
（20分）第1页（共 2 页）三、（20分）设A是体系的守恒量 ， 证明 。

3、在任意态下 ， 它的平均值及几率分布都不随时间变化 。
四、（20分）自旋为1/2内禀磁矩为的带电粒子 处于磁场 中运动,当空间分布均匀而随时间变化时 ， 证明粒子的波函数可表示成空间函数与自旋函数的乘积 ， 并写出它们满足的波动方程 。
五、（20分）一维运动粒子的状态是求： 粒子动量的几率分布函数 ，粒子的平均动量 。
六、（共20分）两个自旋1/2 ， 质量为m的无相互作用的全同费米子同处于线性谐振子场中 ， 写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数 ， 并指出简并度 。
2010年研究生量子力学试题参考答案及评分标准一、二、略三、（20分）它随时间变化为 。
（5分）因是守恒量 ， 它不显含t、且与哈密顿对易 ， 则 。
（5分） 由 。

4、于与对易 ， 所以可找到一完全集包括和 ， 其共同本征函数组（n代表除的其他力学量的量子数）而 的特解是定态解 。
通解（即任何一个态）为。
（5分） 对的平均值 。
（5分）所以不随t变 ， 而取的几率也不随t变 。
四、（20分）解：粒子的哈密顿量（10分）其中 是电磁场的矢势和标势 ， 由于 与空间坐标无关 ， 所以粒子的波函数可写为空间波函数与自旋函数的乘积：代入含时间的Schrdinger方程 （10分）五、（20分）解：(1)先求归一化常数 ， 由 （5分）（5分）动量几率分布函数为（5分）(2) =0 （5分）六、（20分）解：单粒子能级及波函数（空间部分）为 ， （ ） （2分） 二粒子体系总波函数应是反对称的：或 （3分）基态： ， 不简并 。
（2分）第一激发态： 是四重简并的 。
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标题：10|10年北京师范大学量子力学试题(总3页)