【余弦|三余弦公式的推导及其应用】1、教材研处三余弦公式的推导及其应用教材研究1公式的推证及两个重吏推论命趣：设（）B丄平面a , B为垂足 ， （”是平面a的斜线 ， A为斜足.ZOAB=, /是平面a內的任一宜线 ， /与AB所成的角为矢、1与（）a所成的角为”如图1.证法1：过斜足A引/的平行线AC,则ZOAC=6,ZBAC=.则：cos 0 = cos 0 cos 02 （三余弦公式）.再过B作BC丄AC,连（）C,则易知AC丄（）C,由直角三角形中三角函数的定义有：ATAQ4Ccos8 =,COS0= .COS& =- COS 0 = COS COS02 OA x OAAB证法2:设lA5l=l,贝IJIMAOIcos =cosBC 。

2、=c（）s45 cos606 =、2 .V即 灯光与岸边所成角的余弦值是返.4想一想:设正四面体ABCP的棱长为a,求点A到平面BCP的距离AO及其体积.【引申】通常情况下&与比是锐角若&与&2同为钝角时 ， 三余弦公式仍成立 ， 且有更广泛 的用途.例4如图5在直二面角a-1-p的棱/上有点A,在内各有一条射线AB、AC,它们与/均成45的角 ， 且AB在平面Q内 ， AC在平面0内 ， 求ZBAC的大小.解：（1）当AB、AC是如图所示状态时 ， T二面角a1 p是直二面角 ， 二 丄0.过B作BD垂直/于D,由三余弦公式得：cos _ BAG =cos45 cos45c =丄 ， _ BAC=60e2(2)当 AC 是 。

3、如图所示 AG 状态时,cos ZB AC =cos45# cost 35 =-l2ZBAC=120 综上知 ZBAC=60或120例5已知正方形ABCP的边长为4, M. N分别是边AD、BC上的点,MN / AB,MN A AC=O.DQCNB现正方形ABCD沿MN折成直二面角（如图6） c设AM=BN=x （0=cos45-cos30fl =西二异面直线人B与EF所成角的余弦值为上44例7巳知异面宜线狄b所成的角为0=60 ,点P为空间任意一点.图fgz咖二斗1, cos30解：（1）如图9,过点Q引异面直线旅b的平行线（）A、OB,则问题转换为求过点P与（）A、（）B所成的角均为45的 。

4、直线的条教.OP与OA、（）B成等角45（）P在由（）A、（）B确定的平面a内的射影（）D是ZAOB的平分线 ， 即Zn（）B=308 .!/ 由三余弦公式可得：cos_P（）B = c（）s45 cos_P（）r）, /cos45 = cos30& - cos POD,这样的直线OP如图9存在一条 ， 又由对称性在/的另一侧也存在一条.再誇虑到ZAOBP的补角的情形 ， 由三余弦公式 ， cos45 = cos60cosZPOD,cos45 0 =cosZPOD1 = 1, /.此种情形的直线不存在.cos 60综上所述知 ， 满足条件的宜线有2条.（2）同（1）的分析 ， 满足条件的直线存在与否就是看等式：cos 。

5、 60 cos 60cosZPOD= __ 1”（0 条）.0cos22 cos 。
= cos 卩 “i”（ 条）1 180 - 8cos2然后将上述1、2两种情形合并即可.想一想：设异面直线介、b所成的角为50 ， 点P为空间任意一点 ， 问过P点与宜线a、b所成的角均为45的直线有几条？ 变式:09重:庆高考）已知二面角a-C-0的大小为&尸50 ， 点P为空间任意一点 ， 过P且)图10与平面Q和平面0所成的角均为0产25的宜线的条数为（Ax 2, B、3,C、4,D、5.（解:如图10过点P分别作平面工、即勺垂线PA、PB.0 设由垂线PA、PB确定的平面与C交于点Q,则易知：A（）丄BQ丄即ZAOB为 。

6、二面角a C p的平面角./. ZA()B=50a ,则 ZAPB=130 又过P的宜线与平面a和平面0所成的角均为25 ,问题转化为为过点P与PA、PB均成65的直线的条教问题了. 由例4 （3）我们已知满足条件的直线有3条故选B点评：一般地 ， 此类问题可转化为& = 180 -趴、0=90 -0时 ， 例4的情形.图11教材研处【练习】1 如图 11 在ZABC 中 ， AB=BC, E、F分别是 AC, AB 的中点 ， 以EF为棱把它折成直二面角AEFBC, 设一 AEC=a,求cosot.并将此与上述例5及想一想 进行比较.2巳知平面工内有Zx（）y=60c ,（）A是工的斜线 ， 且OA=10, / 。

7、 Aox= Z Aoy=45 ,则A到 平面a的距商为（）卞3在三棱锥 DABC 中 ， DA丄平面 ABC, ZACB=90 ,匕AC=BC,求异面宜线AB与CD所成的角.图12 C1L 0【部分问题参考答案】想一想解析:如图 ， 过A、B分别作棱的垂线AC、BD,则易知, ZABC=, ZBAD=2 ,Xi5ZABP=,由最小角定理知,0而&+ 2 =90 ,则 0 +02 /32*/23八体积为：vabcd = -aa =F图m想一想解:过点E作EM丄AC于M, 在折叠的过程中,/ EOA=45- , ZFOA=135-, 没有发生变化 ， 由三余弦公,cosZE（）F=cos45cosl35 =丄 ， 2ZE（）F=120想一想提示:2条.【练习】1 提示：120 ， 此问题与例4等实质上是一致的.2解：设（）A与平面工所成的角为则由三余弦公式可得:cos 45 = cos30 cqs 0， 二 cos 0 =竺 n sin & = 33故点A到平面的距离为：畔3解： PAX平面 ABC, Z ACB=90 , /ABD=30 , AC=BC,不妨设 AC=BC=1.则可求得 AP=2ill ， 从而 cosZACD=lH. 又 V/BAC=4r ,图15教材研处.设ab与AC成45角 ， 设AB与CD所成的角为6,由三余弦公式可得：coscos/ACD.cos45-噜 。

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标题：余弦|三余弦公式的推导及其应用