数与代数之无限小数 无限小数是循环小数吗


数与代数之无限小数 无限小数是循环小数吗

文章插图
一.概念描述
现代数学:要全面深刻地理解无限小数,有必要对实数做一个全面的了解 。实数分为有理数和无理数 。有理数可分为整数和分数 。如果把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成整数,有限小数或无限循环小数,比如2=2.0,2/5=0.4,1/3=0.3333…… 。而无理数只能写成无限不循环小数,比如自然对数的底数e=2.718281828459045……;再如开方开不尽的数,像√2=1.414213562……等 。无限不循环小数和无限循环小数不同,它的小数点后有无限个数位,却没有周期性的重复,换句话说就是没有规律 。最有名的两个无限不循环小数就是圆周率π和自然对数的底数e 。下面我们就来说说无限小数 。
无限小数的定义一般有以下两种:
①它是不能除尽的数,经过计算化为小数后,小数部分无穷尽 。
②小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数 。
无限小数可以分成无限循环小数(如1÷3=0.33……,1÷7=0. 142857142857……)和无限不循环小数(圆周率π=3.1415926535 ……,到2011年为止使用IBM蓝色基因/P超级计算机已计算到60000000000000位小数,仍然没有出现循环) 。
小学数学:2005年人教版教材五年级上册的第28页明确指出:小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数 。例如,0.2142857142857……就是一个无限小数 。
二.概念解读
在小学数学中给出的分数定义实质上是正有理数p/q的定义,其中q≥2 。小数是分数的一种特殊表现形式,同质不同形 。根据p/q的定义,在最简分数p/q中,当q可以分解为只含有因数2和5时,那么p/q可以用有限小数表示;当q可以分解为不只含有因数2和5时,那么p/q可以用无限小数表示 。
我们知道,实数是由有理数和无理数组成的 。实数和数轴上的点是一一对应的 。因此,数轴上的每一个点都应该对应于唯一的一个实数 。把直线用通常的方法标出 0、1、2这些整数点来,就是数轴了 。这样,如果哪一个点正好落在某个整数点上,我们就可以用这个整数表示这个点 。那么其他点如何表示呢?如果把0和1之间平均分成10份,第一个分点上就可以记为0.1,笫二分点可以记为0.2.第三个分点可以记为0.3 ……以此类推;如果把0和1之间平均分成100份,第一个分点上就可以记为0.01,第二个分点上可以记为0. 02,第三个分点上可以记为0.03……以此类推 。在0和1之间可以平均分成10份、100份、1000份、100000000份……以此类推,我们可以无限地分下去,这样所得到的小数都是十进制小数 。
现在我们把0和l之间的线段平均分成3份,第一个分点就是三分之一,如果用小数表示,首先要将0和1之间平均分成10份,三分之一落在了十等分的第三、第四两个分点之间,再把这个小线段十等分,它仍然在第三、第四两个分点之间……每次十等分,它都在第三、第四两个分点之间 。那么我们只好用一个无限小数“0. 333 ……”来表示这个点了,其中的3是指过了第三个分点但没到第四个分点 。而这个无限数表示的是三等分点,不是我们得到的那些十、百、千等分点 。无限小数在数轴上所对应的点,都是不能用十进制小数表示的,它是一个以和它相等的分数的分母为等分数、分子为等分个数的点 。
三.教学建议
(1)无限小数的意义可以通过体验来理解
例如在教学过程中,教师通常采取体验式教学 。教师可首先出示“1÷3=”、“22÷7=”这样的算式让学生进行计算比赛,学生在计算过程中就会亲身体会到小数部分的无穷尽 。根据学生的知识经验和心理特点,他们会对比赛跃跃欲试 。比赛一开始,他们就会迅速地进行计算,当计算一段时间后,学生开始疑惑、犹豫、思考……他们会发现这样除下去永远都算不完,从而会停下来 。这是学生通过计算初步体验无限的含义 。为什么会出现永远也算不完这样的现象呢?教师可以引导学生通过观察竖式发现其中的道理:在进行除法计算时,每一次除完所得的余数必须比除数小,当某一个或几个余数没完没了地重复出现时,商中小数部分的某一个数字或某几个数字也会相应地重复出现 。相等的余数会导致相等的商,这样余数和商就周期性地重复出现了 。因此,商的小数部分的位数也就无穷无尽了 。这样,学生不仅能再次体验到无限的含义,而且能理解其中的深刻道理 。
【数与代数之无限小数 无限小数是循环小数吗】(2)通过观察来感受无限小数的意义