生活中的数学故事：喝啤酒中隐藏的几何学？——数学十万个为什么 _几何

20 世纪，心理学家 Jean Piaget 曾提出了著名的认知发展理论。他发现，小孩儿明显缺乏对物体体积的认知能力。把缸子里的水倒进一个细杯子里，水位明显上升了，小孩子们便会手舞足蹈地说，哇，水变多了耶！
不过，实际经验告诉我们，成年人似乎也好不到哪儿去。在感知不同形状的物体体积时，人们似乎有一种天生的障碍。如果用一个横截面积更小的杯子来喝酒，别人或许会真的以为你喝得更多呢！
细而高的杯子看上去就是大些
问题的关键在于半径与体积的关系上：半径扩大到原来的 n 倍，横截面积会扩大到原来的 n2倍。为了让圆柱体的体积保持不变，它的高度必须要缩小到原来的 1/n2。
同样地，把一个圆柱体的半径缩小 1/10，看上去似乎是微不足道的；然而，要想让圆柱体的体积保持不变，高度必须要增加到原来的 1/(0.9*0.9)，大约是 1.23 倍。从视觉上看，23% 的高度变化要比 10% 的半径变化明显得多，于是乍看上去体积似乎变大了。

文章插图
左边那个圆柱体的体积看上去是不是更大一些呢？其实，这三个圆柱体的体积是相同的。
杯子上部的空间比你想象的更大
下图是一个酒杯，里面的酒没有倒满。那么，你认为酒的体积占整个酒杯容积的百分之多少？

文章插图
【生活中的数学故事：喝啤酒中隐藏的几何学？——数学十万个为什么】如果酒杯没有装满的话，你可以少喝多少酒？
为了解决这个问题，我们需要知道圆台体积的计算公式：

文章插图
因此，整个杯子的容积为：

文章插图
但液面高度只达到整个酒杯高度的 5/6，因此液体体积为：

文章插图
两者一除，答案简直让人不敢相信：酒的体积竟然只有整个酒杯容积的 73.74%，也就是说这样便能少喝超过 1/4 的酒！
可是，为什么仅仅少了 1/6 的高度，就能少喝 1/4 的酒呢？这仍然是半径与体积的关系在作怪。人们总是关注酒杯液面的高度，却忽视了倾斜的杯壁对体积的影响。而酒杯内部是一个立体的空间，这更是放大了这种影响。如果半径以线性的速度增加，横截面积将会以平方级的速度增加，因此，靠近杯口的位置占据的空间比人们想象中的更多。