数学定理的曲折发展史：费马大定理证明过程( 四 ) _数学定理

4872^2+4879^2=6895^2
…
故定差为7关系成立
再取n为129,我们有直角三角形387^2+516^2=645^2,这里n=516-387=129,根据 3a + 2c + 129= a1定差公式法则有：
a1=3×387+2×645+129=2580 这时得到
2580^2+2709^2=3741^2 继续利用公式计算得到：
a2=3×2580+2×3741+129=15351 这时得到
15351^2+15480^2=21801^2 继续利用公式计算得到：
a3=3×15351+2×21801+129=89784 这时得到
89784^2+89913^2=127065^2
…
故定差为129关系成立
故定差n计算法则成立
故定理3得证
四,平方整数解a^2+^b2=c^2的a值奇偶数列法则：
定理4．如a^2+^b2=c^2是直角三角形的三个整数边长,则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；
（一）奇数列a：
若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）, 则a为奇数列平方整数解的关系是：
a=2n+1
{ c=n^2+（n+1）^2
b=c-1
证：由本式条件分别取n=1、2、3 … 时得到：
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
7^2+24^2=25^2
9^2+40^2=41^2
11^2+60^2=61^2
13^2+84^2=85^2
…
故得到奇数列a关系成立
（二）偶数列a：
若a表为2n+2型偶数（n=1、2、3 …）, 则a为偶数列平方整数解的关系是：
a=2n+2
{ c=1+（n+1）^2
b=c-2
证：由本式条件分别取n=1、2、3 … 时得到：
4^2+3^2=5^2
6^2+8^2=10^2
8^2+15^2=17^2
10^2+24^2=26^2
12^2+35^2=37^2
14^2+48^2=50^2
…
故得到偶数列a关系成立
故定理4关系成立
由此得到,在直角三角形a、b、c三边中：
b-a之差可为1、2、3…
a-b之差可为1、2、3…
c-a之差可为1、2、3…
c-b之差可为1、2、3…
定差平方整数解有无穷多种；
每种定差平方整数解有无穷多个.
以上,我们给出了平方整数解的代数条件和实践方法.我们同样能够用代数方法证明,费马方程x^n+y^n=z^n在指数n＞2时没有整数解.证明如下：
我们首先证明,增比计算法则在任意方次幂时都成立.
定理5,若a,b,c都是大于0的不同整数,m是大于1的整数,如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方幂关系成立,则a,b,c,d,e增比后,同方幂关系仍成立.
证：在定理原式 a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中,取增比为n,n＞1,
得到：（n a）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m
原式化为： n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m）
两边消掉 n^m后得到原式.
所以,同方幂数和差式之间存在增比计算法则,增比后仍是同方幂数.
故定理5得证
定理6,若a,b,c是不同整数且有a^m+b=c^m关系成立,其中b＞1,b不是a,c的同方幂数,当a,b,c同比增大后,b仍然不是a,c的同方幂数.
证：取定理原式a^m+b=c^m
取增比为n,n＞1,得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m
原式化为： n^m（a^m+b）=n^mc^m
两边消掉n^m后得到原式.
由于b不能化为a,c的同方幂数,所以n^mb也不能化为a,c的同方幂数.
所以,同方幂数和差式间含有的不是同方幂数的数项在共同增比后,等式关系仍然成立.其中的同方幂数数项在增比后仍然是同方幂数,不是同方幂数的数项在增比后仍然是非同方幂数.
故定理6得证
一元代数式的绝对方幂与绝对非方幂性质
定义3,绝对某次方幂式
在含有一元未知数的代数式中,若未知数取值为大于0的全体整数时,代数式的值都是某次完全方幂数,我们称这时的代数式为绝对某次方幂式.例如：n^2+2n+1,n^2+4n+4,
n^2+6n+9,……都是绝对2次方幂式；而n^3+3n^2+3n+1,n^3+6n^2+12n+8,……都是绝对3次方幂式.
一元绝对某次方幂式的一般形式为（n+b）^m（m＞1,b为常数项）的展开项.
定义4,绝对非某次方幂式
在含有一元未知数的代数式中,若未知数取值为大于0的全体整数时,代数式的值都不是某次完全方幂数,我们称这时的代数式为绝对非某次方幂式.例如：n^2+1,n^2+2,n^2+2n,…… 都是绝对非2次方幂式；而n^3+1,n^3+3n^2+1,n^3+3n+1,3n^2+3n+1,n^3+6n^2+8……都是绝对非3次方幂式.
当一元代数式的项数很少时,我们很容易确定代数式是否绝对非某次方幂式,例如n^2+n是绝对非2次方幂式,n^7+n是绝对非7次方幂式,但当代数式的项数很多时,得到绝对非某次方幂式的条件将越来越苛刻.
一元绝对非某次方幂式的一般形式为：在（n+b）^m（m＞2,b为常数项）的展开项中减除其中某一项.
推理：不是绝对m次方幂式和绝对非m次方幂式的方幂代数式必定在未知数取某一值时得出一个完全m次方数.例如：3n^2+4n+1不是绝对非3次方幂式,取n=1时有3n^2+4n+1=8=2^3,3n^2+3n+1不是绝对非2次方幂式,当n=7时,3n^2+3n+1=169=13^2;