趣味数学史：三次数学危机( 二 ) _小知识

由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作.数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而是微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建立在了牢固可靠的基础之上.重建微积分学基础,这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了.微积分学坚实牢固基础的建立,就结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决.
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第三次数学危机：集合的漏洞
十九世纪下半叶，康托尔创立了着名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得了广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发壳建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果壳建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国着名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“......借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦......今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了......”
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国着名数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S 。无论如何都是矛盾的。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同，它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
如G.费雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，是康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅洛在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统在很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺依曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而圆满地解决了第三次数学危机。