前方高能！又一个证明地球是圆的办法 _小知识

你如何才能知道你所处的星球看上去像什么？一种方法是发展太空计划，发送飞船，并从远处拍摄星球的照片。只有极少数的人带着相机离开过这个星球的表面在太空中看过它，然后他们告诉我们：我们的星球看起来像一个球体。但是如果他们是在说谎呢？而最近的一篇文章表明，如果一个全球性的阴谋需要由所有的空间机构，宇航员和行星科学家来共同维系，这将是非常困难的，因此我们不必认为他们在欺骗我们。

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除了发展太空计划之外，有一个从数学上讲非常聪明，但不太可能进行实际操作的方法来算出我们所生活的星球的表面究竟是什么曲面：那就是使用欧拉示性数（这是众多以莱昂哈德·欧拉的名字命名的词条之一）。人类知道地球是球体远远早于太空计划，甚至哥伦布都知道地球是一个球体。因此，地球是球体这个结论不是因为太空计划而得出来的。
就像年龄一样，欧拉示性数只是一个数字。对于一个二维曲面如一个盒子，沙滩排球，或星球而言，它是该对象的顶点数减边数加面数，或者用公式表示：V-E+F 。我们将从一个简单的例子开始，一个正方体。正方体有8个顶点，12条边，和6个面，所以最终可得8-12+6=2 。

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那如果是一个球体呢？在这里，没有现成的顶点和边。我们必须把它们画出来。一个方法是在地球仪上画出赤道和一些经线。或者，如果你身边没有地球仪，那就用个柚子，然后绑上橡皮筋。
因为我没有球形摄像机，所以如果你自己没有柚子，那么你就听我说吧，这些橡皮筋在相交处共产生了6个顶点，12条线段，以及8个三角形，因此它对应的欧拉示性数为6-12+8=2（这些数字看起来和正方体的那些很像。你知道这是为什么吗？）。

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在你们准备实施这样的计算前，总会有因为需要做出选择而带来的不确定性。我们所面临的选择是在柚子上如何绑这些橡皮筋。不同的绑法会不会导致不同的计算结果？这一次我将使用四根橡皮筋。

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现在它有10个顶点，21条边，以及13个面，我们再来算一下，10-21+13=2 。
事实上，不论我们如何通过画线或者绑橡皮筋来分割球面，我们最终都会得到欧拉示性数为2这个结果。当然你可以不相信我的话。虽然一个严密的证明对你来说可能过于复杂，但是你可以很容易地通过自己的涂鸦来确信这点。随意画一个形状，在里面随意画一些顶点和边，然后再随意添加一个顶点和一些边，欧拉示性数有没有发生变化？擦去一条边，又会发生什么变化？
欧拉示性数是一个拓扑不变量，这意味着拉伸或挤压不会改变它，只撕裂或粘合可以。现在欧拉示性数，可以用来确定一个曲面的拓扑形状，但却不能用来确定它更精细的特征。例如，正方体，球体，四面体，以及其它像它们这样的封闭形状都有相同的欧拉示性数因为他们都是拓扑等价（注：“拓扑等价”用拓扑学术语来说，就是“同胚”）的。
如果你是一个对科学好奇的人，却没有机会进入太空去看地球，同时你又不想迷信于古代科学家或美国航空航天局的话，你可以利用欧拉示性数来确定地球的拓扑形状。你所需要的仅仅是几个朋友和一堆绳子。让他们每个人都站在地球的某处，每个人都拉住几根绳子的一端。现在你需要做的就是数数有多少个人（注：对应于顶点数），有多少根绳子（注：对应于边数），以及有多少个被那些绳子分割成的区域（注：对应于面数）。然后算一下欧拉示性数，V-E+F 。
如果你得到的是2，那恭喜你。因为在拓扑意义下，欧拉示性数为2的曲面只有球面。
【前方高能！又一个证明地球是圆的办法】

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如果你得到的不是2，那么可能是你算错了。现在让我们假设你是在一个陌生的星球上，其拓扑形状还不知道。该星球的一些其它特征将有助于你确定它的表面究竟是何种曲面。
首先，它是有限的吗？或者，即使是沿着同一个方向走，也永远走不到底？如果它是无限的，你就无法把它分为有限个有限的部分，并因此无法计算欧拉示性数，如果是这种情况，那你是不幸的。因此我们将假设所有的情况都是有限的。