彩虹也能“生”出小彩虹生命是近似的艺术。如果我们

生命是近似的艺术。如果我们考虑生活方方面面的每个细节，将永远无法取得新进展。当然，我们需要小心地选择忽略哪些事情，因为如果那些细节里包含众所周知的魔鬼，他们可能会反过来咬我们一口。
数学家们已经吃过很多次苦头了。一个典型的例子是斯托克斯现象（Stokes'phenomenon）。它起源于近二百年前一个关于彩虹的问题，并衍生出了一个数学的子领域。事实上，今年剑桥汇集了一些这个领域最聪明的人才，就这个话题开展了一个虚拟研究项目。这个问题涉及非常小的量——呈指数级小。但经过时间和空间的推移，这个小量可以按照指数级增长到很大。了解这些潜在的可以爆炸性增长的量不仅对数学、也对从制造喷气发动机到理论物理学的工程与科学各个领域都至关重要。

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彩虹之下
这个问题始于1838年，当时天文学家乔治·比德尔·艾里（GeorgeBiddellAiry）对彩虹很感兴趣。
如果足够幸运的话，仔细观察彩虹会发现，在彩虹主体（主虹）下方有一个或几个不太明显的弧线，主要是绿色、粉色和紫色。艾里对这些多余的条纹（附属虹， supernumeraryfringes）感兴趣，并不是因为他们本身，而是因为在光学透镜中也出现了类似的边缘效应。作为一名需要经常使用望远镜的天文学家，艾里想要理解这一现象背后的原因。

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有附属虹的彩虹。摄影：JohannesBahrdt
艾里函数
艾里函数Ai(r)是下列微分方程的一个解：
它由这个积分给出：

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沿着垂直穿过彩虹的坐标轴，光的强度与艾里函数的平方有关。
在17世纪初，勒内·笛卡尔（RenéDescartes）使用一种将光想象成由射线组成的理论解释了主彩虹的成因。 “但光的射线理论并不能预测附属条纹的存在，所以我们不能模拟出它是什么”克里斯·豪斯说，他也是牛顿研究所项目的共同发起人。 “艾里使用了光的波动理论，这种方法自然地导出了附属条纹。 ”
艾里写下了一个数学公式，这个公式现在被称为艾里函数（Airyfunction），从中可以得到主虹和附属虹的光强，当用一个垂直于彩虹的直线坐标轴来描述彩虹时，我们还能得到彩虹弧线的位置。 “艾里想计算这些多余的条纹在哪里，因为这将有助于改善望远镜的光学性能。 ”豪斯说。
艾里函数的问题是很难计算，给定一个特定的x值，很难计算出艾里函数值Ai(x) 。起初，艾里使用求积方法（quadratures），费尽心力地计算了x从-4到4间隔0.2时艾里函数的值。十一年后，他使用数学家奥古斯都·德·摩根（AugustusdeMorgan）推荐的方法改进了结果：使用无穷多项级数的和来对函数做近似。

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利用现代方法我们可以计算艾里函数值并画出图像。最右边的主凸起代表了主彩虹，左边较小的凸起代表附属虹。（艾里函数的平方给出了光强。）图源：豪斯

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指数的力量
无穷级数求和的想法乍一看似乎很奇怪，让我们来看个例子。
考察指数函数：
其中e是欧拉常数e=2.718281…
这个函数由下面这个无穷多项求和的泰勒级数给出：
级数的每一项都是变量x的幂函数。
现在给变量x赋予任意一个特定值，我们永远不能将这个级数的每一项都加起来（因为没有无限的时间），但是可以对前n项求和，得到所谓的部分和。我们得到的结果是e的一个近似：n越大（也就是部分和中包含的项数越多），这个近似就越精确。事实上，只要将n取得足够大（即部分和中包含的项足够多），我们可以得到任意精度的近似值。数学上认为这个级数对于所有的x都可以收敛到值f(x) 。
举个例子，现在为了估计x=2时e的值，我们取x=2简单地计算泰勒级数（也叫麦克劳林级数）的前几项，保留前五项，我们得到：

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而函数f(x)在x=2时的真实值是f(2)=e≈7.4.
所以在这个例子中，甚至只取泰勒级数的前五项就可以给出x=2时函数值的一个合理近似。