在追求无限的旅程中，数学一直与人类同行( 二 ) _数学发展史

阿基米德之后 1800 年，伽利略和开普勒将目光望向宇宙，如果没有他们，我们或许还不知全球定位系统和航天器为何物。微积分故事中的关键时刻出现在 17 世纪中叶，曲线之谜、运动之谜和变化之谜在二维网格——费马和笛卡儿的 xy 平面——上发生了碰撞。我们今天已经对他们创造出的坐标轴习以为常了。
到了下一代，在费马、笛卡儿、伽利略和开普勒的研究成果的基础之上，英国的牛顿和德国的莱布尼茨彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起，创立了微积分。

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思维的虚构产物尽管微分是思维的虚构产物，但自从莱布尼茨发明微分以来，它们就以非虚构的方式深刻地影响着我们的世界、社会和生活。
没有微积分，就不会有无线通信和 GPS 。同样地， GPS 卫星上的原子钟利用的是铯原子的量子力学振动，而微积分是量子力学方程及其求解方法的基础。所以，没有微积分，就不会有原子钟。
而现在微积分还没有完结，它和以前一样求知若渴。同样的， “无穷”依然是数学人不断追求的圣杯，它危险、充满挑战，但极具诱惑。
无穷=无穷？牛顿、莱布尼茨这些名字都是在数学界如雷贯耳的，然而他们总是显得有些久远，这不禁会让我们对数学发展的印象停留在前几个世纪。然而，数学从来不只是工具，也不是技术的附庸，直到今天，数学理论的发展也承袭着阿基米德、欧几里得的创造一直前行。在《素数的阴谋》中，我们所看到的，就是当代数学家们对于经典理论的承继与超越，对前世遗留下来的数学谜题不断探索。

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《素数的阴谋》中信出版·鹦鹉螺
公元前 4 世纪，亚里士多德提出了关于无穷的哲学，他的这一哲学被一直沿用了下来，直到 150 年前才受到了挑战。亚里士多德接受“潜无穷”——例如，数轴将永远延续——作为数学中一个完全合理的概念。但他拒绝接受“实无穷”的概念，即将无穷定义为一个实际、完整且可操作的对象。
19 世纪以前，亚里士多德的这种区分一直都能满足数学家的需要。在那之前， “数学本质上是计算性的” 。但到了 19 世纪，数学从计算转向了概念理解。数学家开始发明（或发现）抽象的对象——首先便是无穷集。
一个多世纪以前，一个问题被提出：在自然数的无穷和实数的无穷之间是否存在其他无穷？这是数学中最著名也是最棘手的问题之一。芝加哥大学的马利亚里斯和耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的希拉合作推动了这个问题的进展。他们证明了一个无穷（被称为 p）和另一个无穷（被称为 t）实际上是相等的，令数学家们大为惊讶。
无穷的概念是令人费解的。无穷可以有不同的大小吗？这可能是有史以来最违反直觉的数学发现。

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19 世纪末，德国数学家格奥尔格·康托尔用数学的形式语言抓住了这种匹配策略的精髓。他证明，当两个集合之间可以建立一一对应时（即当每辆汽车有且只有一个司机时），它们的大小是相同的，或者说它们具有相同的基数。或许更令人惊讶的是，他证明了这种方法也适用于无穷大的集合。
确立了无穷集的大小可以通过彼此一一对应来比较后，康托尔做出了一个更大的飞跃：他证明，一些无穷集甚至比自然数集还要大。
考虑实数，即数轴上所有的点。实数有时被称为“连续统” ，这个名字反映了它的连续性：一个实数和下一个实数之间没有空间。康托尔在 1873 年证明，实数（例如 0.000 01、2.568 023 489、π 等）的连续统是“不可数的”：实数与自然数不能一一对应，因为对于任意有序实数列表，总能找到一个不在列表上的实数。