数学漫步：复数及法国数学家杜阿迪的分形兔子( 二 ) _数学家

如果我们用坐标(x,y) 表示平面上的数，x、y 是实数，我们刚离开的那条直线的方程是 y = 0 。(1,0)点旋转四分之一周后是(0,1) 。这就是阿尔冈认为是 -1 的平方根的那一点。最初被这「花招」震住的数学家们把这数叫做 i，即「imaginary」。我们希望能相加这些数，我们可以考虑 x + iy：对应坐标(x,y) 。

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总结一下，阿尔冈建议我们把平面上的点(x,y) 当作一个（复）数来考虑，而不是一对（实）数。这也许非常令人惊讶，或者让人觉得矫揉造作。但我们将看到这观念很有作用。
四、复数代数下面的内容并不难。有了这些假定之后，我们用两个实数定义一个复数，也即平面上的一点，用 z= x + iy 表示它。我们要展示如何把两个复数相加，相乘，我们以前使用的运算性质这里仍然适用。比如，我们可以检查两个复数的和与它们相加的顺序无关。这都可以严格证明，但不是影片的重点……这里介绍了复数理论。
对于复数的加法很容易：我们有公式

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所以复数的加法归结为对应向量的相加。
而对于乘法，稍微有点复杂：

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但是这公式里还有其他特殊的地方。比如，从这公式中我们不能直接看出三个复数相乘的结果与运算顺序无关，并且我们能否用非零复数去除复数。这些问题并没有在影片里给出解释……否则我们要花费更多来说明了！

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▌复数两个重要的概念
复数 z= x +iy 的模(modulus) 就是(x,y) 到原点的距离，用 |z| 来表示。由勾股定理知这等于 √(x2 +y2) 。比如 i 的模是 1，1+i 的模是 √2 。
我们用 Arg(z) 表示 z 方向的辐角(argument)，即 x 轴与连接原点与(x,y)的直线间的夹角。辐角只有在 z 不等于零时才有定义。比如 i 的辐角是 90°、1 的辐角是 0、-1 的辐角是 180°、1+i 的辐角是 45° 。
空间的点如何相乘？很长一段时间数学家们都想把这推广到三维空间。花了很久人们才明白这是不可能的。在四维空间，只要放弃乘法 ab=ba 这条交换律性质，他们又发现这部分可行！再抛弃 (ab)c=a(bc) 这条结合律性质，直到八维都是可行的。就是说每一次维度翻倍，都会失去一些数学性质。
总而言之，平面上的每一点的都被定义成「一个」复数。二维平面变成了一维！这里没有矛盾：平面有两个「实」维度，但这是一条一维的「复」直线。实平面，复直线……两个实维度，一个复维度。文字游戏？
五、又见面了：球极平面投影！回忆一下球极投影：它把除去北极点的二维球面变换到与南极点相切的平面上。随着点接近北极，它的投影在平面上越来越远，所以我们说它趋于无穷。

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现在，如果我们把与南极点相切的平面想像成复线，那么我们就能明白为什么我们经常把二维球面（两个实维度！）描述成复投影线！这就是一个美妙数学技巧的例子：把球面称作线！
Henri Poincaré 不就说了数学就是给不同的事物同样的名字吗？
【数学漫步：复数及法国数学家杜阿迪的分形兔子】