数学家波利亚对教师日常工作的看法：“给教师的十诫”( 二 ) _数学家

文章插图

? 知识(Knowledge)包括了知识性的讯息(information)和技巧诀窍(know-how) 。技巧诀窍是一种技能，它是处理知识性的讯息、善用知识性的讯息以达目标的一种能力；可以说是一连串适当的心智活动，最后会让我们的工作变得有系统。在数学上，技巧诀窍是解决问题、建构证明、批判诊断解答与证明的能力；比起纯粹知识性的讯息的获取，技能重要多了，因此，对数学教师而言，接下来的第五诫是相当重要的：不但要教授学生知识，而且要让他们知道技巧、诀窍，学习正确的心态及有系统工作的习惯。也正因为在数学教学中技巧诀窍比知识来得重要，「如何教」就比「教什么」更值得我们去重视了。
? 「先猜测，再证明」－通常发现的过程也是这样开始的。从经验当中，你应该知道这件事，而且你应该知道数学教师拥有绝佳的机会去显示猜测在发现过程中的地位，也因此让学生铭记思维活动的重要性。关于后者并不(虽然应该)广为人知，很遗憾地，鉴于篇幅有限的关系，在此也没有办法详尽地讨论。不过，我仍然希望在这一方面你别忽略了你的学生：让他们学习去猜测。粗心大意的学生很有可能作出毫无根据的猜测。当然，我们所要教授的并非毫无根据地乱猜，而是有凭有据、合理地猜测。合理的猜测是建立在明智地使用归纳与类推结果的基础之上，根本上包含了在科学中扮演重要角色的合理化推理之所有过程。
? 「数学是一个学习如何合情推理(plausible reasoning)的好学科。」这句话简述了前述法则蕴涵之意，虽然它听起来陌生且非常新颖；事实上，笔者是相信它的。「数学亦是学习论证推理(demonstrative reasoning)的好学科。」这句话听起来则很熟悉－它的某些形式几乎跟数学本身一样古老。实际上，更真实的是：数学和论证推理是共存的，论证推理遍及于各个科学学门中，同时将它们的概念提升至充分抽象、明确的数学逻辑层次(mathematico-logical level)；在这样的高层次之下，例如，在日常生活当中，已没有实际论证推理的余地了(换言之，已不适合实际论证推理) ，不过(并不必要去争辩这样一个被广泛接受的论点) ，除了基本的东西之外，数学教师仍必须让所有的学生知道论证推理：让学生学习证明。
【数学家波利亚对教师日常工作的看法：“给教师的十诫”】

文章插图

? 技巧诀窍是数学知识中较有价值的一部分，比单单只是拥有讯息更有价值。但我们应如何传授此项技巧诀窍呢？学生可以透过模仿与练习来学得它。当你提出一个问题的解答时，适切地强调其中的教育性的特征(instructive features) 。如果一个特征值得仿效，那么它就是具教育性的，也就是说，它可以用来解答眼前的问题，更可以解决其他的问题－愈常用到，便愈具教育性质。但强调教育性特征的方式，并不只表现于夸赞学生(因为对某些学生反而会产生反效果) ，更应表现在教师的行为中(如果你有表演天份的话，稍微装一下效果会更好) 。一个适切强调的特征能将你的解答转入「范型答案」(model solution), 藉由让学生模仿可以解决更多问题的答案也能让它转变为一个令人印象深刻的形态，因而法则即是：留意现在手边的问题，从其中找寻一些可能对于以后解题有帮助的特征－试着去揭露潜藏在目前具体情境中的普遍形式。
? 我希望能够在这边指出一些在课堂上容易学到且教师们应该要知道的秘诀。当你开始讨论一个问题时，试着让学生去猜答案。让那些猜想或甚至叙述臆测的学生陷入进退两难的情况：他们必须跟随着求解的过程来看他们的猜测是否正确，且必须要专心一致。这只不过是下列法则(本身是从法则四和法则六的某些部分推敲、拼凑出来的)的一个特殊的情形而已：不要一次就泄露出所有的秘诀－在你告诉学生之前，让他们去清测－让他们尽可能地自行去发现。