数字真奇妙系列之完结篇——自然数九和十 _数字

文章插图

本文作者刘瑞祥，[遇见]这里要特别感激刘老师投稿支持！
这个数字系列，我最开始写六和七的时候只是偶发奇想，后来才想着写写数字五，再接下来就写了四和八、三、一和二。其中关于三和五的都是单独成篇，并专门写了三角形和正五边两篇文章。既然已经写了这么多，如果不写一下九和十好像不完整似的，那么就让我继续努力一下吧。
数字 9 和 3 的共同点是，在十进制中，一个能被 9 或 3 整除的数，各位上的数字和一定也能够被 9 或 3 整除，反之亦然。证明这一点应该不难吧，不过我以前还真在某教育论坛上看见小学老师问这个问题的。我要顺便嘚瑟一下的是，想当年我初中的时候可是自己发现一个数能够被 17 整除的其点的——将一个数最后一位划掉，剩余部分减去划掉部分的五倍，如果结果能被 17 整除，则原数能被 17 整除。
数字 9、3 和 7 还有一个共同点——它们的 1-9 倍最后一位都不同。这个规律可以运用到相当一类的数学游戏当中，即给你一个用不同字母表示数字的乘除法算式，让你猜测各字母分别代表什么数字。另外数独、三阶幻方等游戏也都和九有关。

文章插图

▲ 求解ABCDE各数值为多少？（答案不唯一）
一个经常出现在数学科普文章里的问题是为什么 0.999…=1，这个话题既能从初等数学来论证，也能从高等数学方面论证，还能从数论的角度来看。那么对一个已知循环节的小数，你能化成分数吗？如果十进制的你会了，别的进制呢？
在边数少于十的正多边形中，正九边形和正七边形是“唯二”的不能尺规作图的正多边形。但是正九边形比正七边形应该简单点，因为可以方便的用半圆仪画出圆心角。如果你用折纸制作正九边形的话，也应该比正七边形容易想到思路。
数字十对于我们很重要，因为我们日常用的就是十进制，所谓的科学计数法、国际单位制等等都与之有关。顺便说一句，你知道当今世界哪个主要大国单位制最混乱吗？答案是美国，因为只有美国还在沿用着连英国都已经逐渐淘汰的非十进制的英制。但是如果涉及时间或者角度，人们往往喜欢以 3 的倍数为进制，因为这样的话三等分不会出现分数，据说这也是一部分人捍卫英制的理由。

文章插图

▲ 典型手持科学计算器上的对数键（以10为底的log和以e为底的ln）(图自维基)
十进制给数学带来的另外一个影响就是常用对数，我是初中学到对数的，现在还记得 lg2=0.3010 和 lg3=0.4771 。高中则接触到了对数函数、常用对数和换底公式。我父亲还用过根据对数原理制作的计算尺，当然现在是没什么用了，不过当年很重要，据说钱学森先生就曾经自掏腰包为中科大的学生购买过计算尺。对数的一个意义是便于我们度量那种可能相差很多倍的物理量，比如噪声、星等、地震震级等等都和对数有关。现在讲对数都直接说成是指数逆运算，而历史上则是先发明对数再发现它和指数关系的。数学史和数学本身的逻辑毕竟不同，这一点的另一个例子是微积分的人发明顺序是积分-求导-极限定义。不谈这个了，只问你一句，你会证明 lg2 是无理数吗？

文章插图

▲ 计算尺上的游标(图自维基)
虽然人类用十进制很方便，但计算机就只能是二进制。而这个差异，再加上计算机字长和存储器总是有限的，导致计算机的浮点运算很容易产生误差，比如我当年在 286 上用 GWBASIC 语言计算 3^4 时得到的结果就是 81.00001（小数位数可能有误，但肯定不是正好的 81），而计算 3*3*3*3 不会产生误差。究其原因，是因为前者在计算机内部用到了自然对数和指数运算，产生浮点小数造成误差。我不同阶段的计算机老师都在苦口婆心地教育我——如果你要在程序里判断两个浮点数是否相等，一定注意只要小于一定误差就可以了。
【数字真奇妙系列之完结篇——自然数九和十】

文章插图

▲ 正十二面体和正二十面体及正投影图形
下面再说个尺规十等分圆的方法。本来我们可以做出圆内接正五边形之后把每段弧平分一下就可以了，但是这样手续太烦，更简单的是直接把圆半径进行黄金分割，分得的大段即是该圆内接正十边形的边长，进一步再将画正五边形也很容易。最后一点，正十二面体和正二十面体虽然表面上没有正十边形，但如果把各个面向底部做正投影，那是很容易出现十等分圆的。