偶函数：半程傅立叶余弦级数对于 x 的所有值，有 f(-x)=f(x)；因此，偶函数的图总是关于 y 轴对称的（也称为它是镜像对称的） 。例如，看看下面函数的图，f(x)=cos(x)：
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f(x)=cos(πx)
显然，上面是关于 y 轴对称的 。如果一个函数是偶函数，那么对于 bn，不论 bn 的第 n 项是什么，求解的积分部分都等于零 。因此，我们可以安全地消掉原来级数的 bn 部分，留下一个偶函数的截断傅里叶级数，称为半程傅立叶余弦级数，它看起来如下：
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偶函数在其傅里叶展开中只有余弦项：理解这一点的关键是每个傅里叶级数的设置都是从正弦和余弦函数开始 。
「奇函数：半程傅立叶正弦级数」
对于 x 的所有值，如果 f(-x)=-f(x)，则函数 f(x) 被认为是奇函数；因此，奇函数的图像总是关于原点对称的 。例如，看看下面函数的图像，f(x)=sin(πx)：
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这有点难讲，但是上面是关于原点对称的 。如果一个函数是奇函数，那么包括 an 的级数项的积分，无论是 an 的第 n 项是什么，都等于零 。因此，我们可以安全地消掉原来级数的 an 部分，只留下奇函数的截断傅里叶级数，称为半程傅里叶正弦级数 。然而，这还没完，奇函数还包括额外的信息，能帮助我们消掉一个额外的项：a0 。想一想，如果一个函数在原点上是对称的，那么这意味着 x 轴以上的面积等于 x 轴以下的面积；这意味着函数的平均值，即我们的 a0 项，也等于零 。因此，对于半程傅里叶正弦级数，我们可以安全地消掉 a0 项和余弦项，如：
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这样最初的几项现在都被去除了，一个奇函数的傅里叶展开中只有正弦项；显然，这比我们开始要求的傅里叶级数要简单的多 。
实例现在我们来看一个实际的傅里叶级数的例子 。对于这个例子，我们要复制一个方波，它从-1 的波谷振荡到 1 的波峰，周期为 2π；我们将分析从 -π 到 π 的函数图像 。这采取了以下形式（图片在左边/下面） 。
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建立傅里叶级数的第一步不是直接进入这个原始步骤，而是检查目标函数是否具有对称性；看这张图，很明显，它确实是围绕原点对称的 。因此，我们使用的函数是奇函数 。这一微小的分析大大降低了复杂性和完成我们的傅里叶级数所需的步骤 。因为我们知道它是一个奇函数，这意味着我们可以把它看作是一个半程傅里叶正弦级数（如上所述） 。通过这个例子，我们开始了我们的实际旅程，基本上是简单的步骤：
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记住我们的目标是求出 bn 。
从左到右，f(t) 是我们用傅里叶级数近似的函数 。可以看出，我们已经消除了 a0 和 an 项，只剩下一系列的正弦波需要处理，还有余下这个系数 bn 项需要求出 。
这是第一次需要认真思考的地方：右边的 f(t) 只是我们要近似的形状/函数的值 。在这个特殊的例子中，如上图所示，函数 f(t) 的值是分段的：从 -π 到 0，f(t)=-1；从 0 到 π，f(t)=1 。因此，如果我们将 bn 拆分为两个不同的积分，（-π, 0)到(0,π），我们可以简单地用 -1 或 1 替换 .
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接下来，我们尝试代入 n 一些值来分析上式的模式，这些模式将暗示系数 bn 的收敛性 。我们先从写出 n=1 开始：
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上面的计算可以借助任何一款计算机软件或者 WolframAlpha 中进行复查 。
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它告诉我们，对于 的第一个值，我们的系数 收敛到 4/π 。我们现在将对 的四个附加值重复这个过程，希望能发现一个模式：
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是否有一个清晰的模式？是的 。请用 WolframAlpha 或其他的高级计算器再次检查这些分段积分 。从上面可以看出，值得注意的是，的所有偶数值都收敛到零，而 的所有奇数值收敛到 4/(nπ) 。
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