发明，还是发现？数学本质的哲学之辩( 二 ) _小知识

这份名单中的每一位都是柏拉图主义者，排在首位的是希腊化时代的阿基米德，他在数学领域的成就至少领先同代人一个世纪，另外三位则是 16 至 17 世纪科学革命时代的巨匠：伽利略、笛卡儿和牛顿。伽利略是阿基米德的忠实“粉丝” ，他发展了由哥白尼与开普勒开创的“日心说”理论，为此后几个世纪中数学的极大发展提供了关键动力。笛卡儿成功地整合了代数与几何学，将人类认识自然界的视角从定性描述转为定量分析。牛顿在其名著《自然哲学的数学原理》中证明了万有引力定律，还和莱布尼茨各自独立地创建了曾被阿基米德预言过的微积分学，把笛卡儿“用数学描述宇宙”的思想变成了现实。这三位魔法师从根本上改变了数学和自然科学之间的关系，从而大大激发了数学家们的热情。

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在 19 世纪之前，占主流地位的世界观认为数学是自然的语言，人类只能发现而不能发明数学。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，直觉和经验不一定靠得住，因此几何学开始在古希腊数学中占有特殊地位。公元前 300 年左右，欧几里得在 13 卷巨著《几何原本》中从十条“不证自明”的公理出发，通过逻辑推理的方法建立了几何学体系，在西方成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。欧氏几何学一直被奉为“真理”和“确定性”的完美典范，提供了关于宇宙确实存在的无可辩驳性最稳固的理论证据，牛顿的《原理》就是完全按照《几何原本》的公理化模式写成的。利用牛顿和莱布尼茨创立的微积分学以及后来发展的微分方程，数学家们可对各种复杂的物理现象从数学理论上提供解释。为了将类似的数学原理用于解释生物学、社会学或经济学等不确定性科学，一些具有天才智慧的思想者们还发展出了全新的、革命性的数学工具——概率论和统计学，使得数学也成为描述和解释一些最混沌的人类活动的语言。
尽管如此，几个世纪以来人们对于欧氏几何学中的第五公设即“平行公理”的质疑始终不绝于耳。19 世纪上半叶，罗巴切夫斯基、亚诺什、高斯、黎曼等人选择了不同于第五公设的公理，分别独立地创建了全新的几何学——双曲几何与椭圆几何。非欧几何学的出现极大地震撼了数学世界，动摇了 2000 多年间被公认的欧式几何学对于物理空间描述的唯一性。这一事实让人们产生疑问：数学似乎是人类的发明，而非独立存在于人类思维之外等待被发现的真理。19 世纪中期，格拉斯曼创立了任意维空间的几何学，其主要思想构成了近代一个重要的数学分支——线性代数。在他看来，数学更是人类思维的抽象创造，不一定对现实世界有任何应用，因此数学不再局限于描述三维可观察的世界。另一方面，脱离物理现实使得某些数学家重新回到柏拉图“数学是独立的真理世界”的思想，这个真理世界的存在和物理世界的存在一样真实，非欧几何以及后续发展使得数学家们开始专注于数学基础的研究。

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从 17 世纪末莱布尼茨开始，到 19 世纪中后期经过德摩根、布尔、弗雷格等人的发展，逻辑代数日臻成熟。康托尔认为：“数学的本质完全在于它的自由。”他和戴德金建立的朴素集合论，与逻辑代数可视为硬币的正反两面，为数学的统一提供了一线希望。到 19 世纪末，数学的目标从研究自然的真理转变为构建公理体系，以及探索公理在逻辑上所有可能的结论，从而将数学和逻辑这两个完全独立的领域紧密联系在一起。20 世纪初，以弗雷格和罗素为代表的逻辑主义、以希尔伯特为代表的形式主义、以布劳威尔为代表的直觉主义三大学派之间发生了激辩，从而引发了史上第三次数学危机。为了缓解集合论中的罗素悖论，策梅洛和弗兰克尔以自洽的方式公理化了集合论。然而与欧氏几何中的第五平行公理一样， ZF 公理系统中的选择公理既不能被证明，又不能被证伪，又一次引起数学家们的强烈质疑。1931 年哥德尔证明了公理系统的不完备定理，指出任何功能强大到足以引起人们兴趣的形式系统，本质上要么是不完整的、要么是不一致的，使得数学基础研究发生了划时代的变化。