数学，美在哪里？ _小知识

数学，美在哪里？所谓“数学之美”，也是个老生常谈的话题了，我不揣冒昧，也谈谈我的认识。
数学，美在简洁有这样一个问题：给你平面坐标系上的三个定点，求过这三个定点的圆的方程。如果让普通的中学生来求解，肯定是先作出其中两点连线的垂直平分线方程，然后再作一垂直平分线方程，继而求交点、半径，才能得到圆方程，多么麻烦。但数学家不是这样，他们直接写出圆的方程：

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这是多么的简洁。利用行列式的性质立刻可以看出，(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)均满足这个方程，所以这个方程确实是过已知的三个点，而且 x2 和 y2 的系数相同、没有 xy 项，完全符合圆的方程特点。该方程不但适用于一般情况，也适用于退化情况：只要将方程按第一行（或第一列）展开，马上可以看出当且仅当第一项的余子式为零时，这个方程的二次项系数为零，即此图形退化为直线，而这个余子式恰好就是以已知点为顶点的三角形面积的二倍。换言之，当且仅当这三个点代表的三角形面积为零（此时三点共线），所求的过这三个点的图形为直线。可能有人会说，前面的行列式如果展开的话，并不简洁，那么请看微积分基本定理：

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【数学，美在哪里？】以一个式子沟通了导数和积分之间的关系，何等简洁？不但数学式子是简洁的，数学理论也是简洁的。《几何原本》把整个几何的知识体系都建立在了五条公设和五条公理上，即使到了现代公理体系的经典著作《几何基础》，也只有二十条公理，而这些公理能推出的命题则不可胜数。
数学，美在奇妙这里的奇妙有两方面的含义，一是结论本身的奇妙，二是求解（求证）过程的奇妙。晚年的爱因斯坦回忆儿时曾经谈到“一本关于欧几里得平面几何的小书”，并且举了一个例子——三角形的三个高交于一点。这个定理的神奇之处在于，一方面它很不容易由观察得出，另一方面也在于它的一个著名的证明过程居然会用到四点共圆，而这个定理本身无论前提还是结论都和圆毫无关系。

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能体现数学之奇妙的还有尺规作图。众所周知的是，正七边形不能用尺规作出，但正十七边形居然可以，甚至可以用单独一只圆规或者单独一把尺子（配合一个已知圆）作出，真可谓神乎其技。
类似的惊奇还出现在“有理数和整数一样多”“实数比有理数多得多”的证明中。乍看起来，无穷多的东西怎么能比较多少？但是数学家能够像普通人处理 2+2 一样处理无穷，真是不可思议。可是另一方面，有时数学家处理的研究对象又是很少的，比如所谓的布尔代数，只涉及两个对象——0 和 1，很难想象数学家会研究这么“贫乏”的东西，更难以想象的是，数学家居然从中得出了非常丰富的结论。
在学习泰勒展式和傅里叶分析前，你可曾想过，（几乎）“任何”函数都可以化成统一的形式，乃至无论函数本身的定义如何，都可以用四则运算来计算？笔者中学时代常困惑于“数学用表是怎样编制的”这个问题，待学完泰勒展式后这个问题迎刃而解。下面两个命题从表面上看似乎是矛盾的，以至于很难相信它们竟会同时成立：一是素数是无穷多的，二是存在着任意（给定）长度的连续的合数数列。这两个命题都能用很简短的方式加以证明，其可靠性是确定无疑的。这展示了数学奇妙特性的另一方面。

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数学，美在统一给出平面直角坐标系上的三个点的坐标，以这三个点为顶点的三角形面积怎么计算呢？还是用行列式表示比较容易：

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这里内层的竖线表示行列式，外层的竖线表示绝对值。而立体直角坐标系上四棱锥的体积公式则是，

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数轴上两个点的坐标，其距离则可以写作

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看出来系数的奥妙了吗？没错，正是维度阶乘的倒数。如果你取消上面的绝对值符号，那么会有更统一的结论：以平面为例，任给四个点 A、B、C、D，则有