数学中的模式与对称之美——柏拉图立体 _几何

规则的柏拉图立体在这个问题中，我们将离开平面，进入三维空间。你以前肯定听说过柏拉图立体，正四面体（三角形组成的棱锥体）和正立方体这些规则的立体都属于柏拉图立体。
柏拉图立体由规则的多边形组成。例如，正四面体中的等边三角形或者正立方体中的正方形。此外，每个顶点上的棱边数相同。世界上只有 5 种柏拉图立体，命名方式提示了它们各自有几个面：

正四面体（4 个正三角形组成 4 个面）
正六面体（6 个正方形组成 6 个面，即正立方体）
正八面体（8 个正三角形组成 8 个面）
正十二面体（12 个正五边形组成 12 个面）
正二十面体（20 个正三角形组成 20 个面）

问题来了：为什么只有这 5 种柏拉图立体？这个问题乍看很复杂。为什么我用 60 个或 80 个正三角形不能构成一个封闭空间的立体？为什么正七边形也不行？
解答跟之前一样，非常简单。我们仔细观察一下柏拉图立体的顶点，一个顶点至少由 3 个侧面组成。正四面体、正立方体和正十二面体（五边形）正好是 3 个侧面组成一个顶点，正八面体是 4 个侧面，正二十面体则为 5 个侧面组成一个顶点。我们可以把组成一个这样顶点的侧面，像折纸一样展开，展开后的形状如下页图形所示。
我们可以稍微折一下所有的棱边，在白色条状纸面上涂一些胶水，再把它粘在对面棱边的下面，这样，我们就构成了一个顶点。

文章插图

▲ 正四面体的一个顶点及相邻侧面
如果你仔细观察这些以顶点为中心展开的图形，你就会发现这 5 个图形都有缺口。它们也必须有缺口，否则无法将这些多边形组成一个空间上的顶点。组成顶点的棱边，必须轻微折一下，这样才能封闭缺口。换句话说：各个 n 边形相交于一个顶点的内角和必须小于 360° 。
也许你已经明白了：为什么等边三角形只能组成 3 个柏拉图立体。在正四面体中， 3 个三角形组成一个顶点，内角和为 3×60°=180°；在正八面体中，有 4 个三角形，即 4×60°=240°；正二十面体有 5 个三角形，即 5×60°=300° 。如果再加一个三角形，内角和则达到了 360° ，这就太多了。

文章插图

▲ 正八面体
我们用正方形只能构建一个正立方体， 3 个正方形组成一个顶点，其内角和为 3×90°=270° 。4 个正方形的内角和为 360° ，这对柏拉图立体来说也是太多了。正五边形的每个内角为 108° 。3 个这样的五边形的内角和仍然小于 360° ， 4 个五边形则超过了限制，因此用正五边形就无法再构建其他的柏拉图立体。

文章插图

▲ 正二十面体
但是，不仅有正三角形、正方形和正五边形，如果用正六边形会怎么样？正六边形的每个内角正好是 120° ，因此构成一个顶点的 3 个正六边形之间就没有空隙了，它们完全可以铺成一个平面，见下一页的图。所以，这样就不能构成柏拉图立体所必需的空间上的顶点了。正七边形就更加不会产生空隙了。正七边形的内角大于 120 ° 。如果我们将 3 个正七边形放在能构成顶点的一个平面上，就会产生重叠，这样就自然不会构成空间上的立体。n≥7 的所有正 n 边形都是这样的。

文章插图

▲ 正六面体,正十二面体, 正六边形组成的立体
我们以上所用的折纸技巧就可以证明，除了这五个已知的柏拉图立体之外，没有其他的柏拉图立体。这个证明比毕达哥拉斯定理稍难理解一些，但是它让我们运用了空间思维，还让我们充分利用了小时候玩折纸模型的经验。这就是我爱它的原因。