著写最早几何学集大成之作，欧几里得曾是怎样影响世界的？( 二 ) _古代数学

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欧几里得与物理学欧几里得从未谈论过他的几何形状所在的空间，但他似乎隐含地认为它是一个无限大膨胀、在所有方向上都是相同的、并且每个点都与其他点相同的空间。
后来的思想家，尤其是从文艺复兴时期开始的思想家，谈论了很多关于空间的话题。他们同意这些早期的假设。空间就应该是这样的这个想法来自充足理由原理，乍一看似乎很明显：对于所有的一切东西，肯定有一个理由使它必须是这个样子而不是其他样子。
该原理至少与阿基米德一样古老，它使我们能够解释周围世界的事物。这里有个例子：我们是如何知道在与支点相等距离处具有相等权重的杠杆必须平衡的呢？好吧，那为什么不平衡呢？杠杆没有理由在任一侧都下降：因此它必须在任一侧均不下降；因此平衡。

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▲ 与支点等距离且等重的杠杆必须保持平衡
充足理由律是逻辑学基本原理之一，由 17 世纪德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出。人们在科学推理中，由于依赖的是不证自明的公理，所以，如果没有充足理由律，结论就可以导致两种自相矛盾的东西。莱布尼兹认为上帝在创造宇宙时使用了这个原理和逻辑法则。而且由于上帝是理性地创造了它，所以我们人类可以把它弄清楚。
人类理性可以理解宇宙的一个引人注目的例子就是牛顿第一运动定律，该定律最早其实由笛卡尔和皮埃尔·伽桑狄（Pierre Gassendi）独立发现过。他们是这样推导的：没有受到作用力的运动物体以恒定的速度继续沿直线运动。为什么呢？物体会继续沿一条直线运动，因为它没有理由转向其他方向，所有方向都是一样的。它以恒定的速度运行，因为它没有理由加速或减速：空间中的所有点都是相同的，因此物体没有理由偏向于一点。类似的论断是一个静止的物体如果没有力作用在其上，它将保持在原处。
充足理由律是一个很有力的原理，它似乎表明我们生活的空间就像欧几里得几何空间一样。因此，毫不奇怪的是，17 和 18 世纪的思想一直受到是欧几里得影响。例如，牛顿的物理学隐含地依赖于欧几里德的第五条假设。理解这个需要用到你在学校学的力的平行四边形。要证明平行四边形的特性，需要欧几里得的平行线理论，因此需要第 5 个假设。

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▲ 力的合成遵循平行四边形法则，红色箭头表示两个力共同作用的最终效果
这就是为什么 18 世纪的数学家如此关心证明平行公理的原因。这非常重要；不仅几何，而且所有科学都依赖于它。数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）给出了一个有趣的例子：他试图用充分理由原理来证明第五种公理，这一尝试令人印象深刻。遗憾的的是，他的论证是有缺陷的，不过这是一个重要的事实，就是，如此重要的一位数学家也愿意在公开发表研究的论证出来，并将欧式空间和充足理由律联系起来。
欧几里得与哲学哲学同样被欧几里德的思想所渗透。超级有影响力的哲学家伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant）说，所谓的空间是我们心中存在的东西，我们每个人心中都有相同的独一的“空间” 。事实证明，对于康德来说，这个空间必须是欧几里得空间。
为了论证我们可以了解有关非物质事物的复杂真相，康德使用了欧几里得的证明，即三角形的内角和为两个直角。证明使用了几何构造方法。您在哪里构造这些？不在纸上——几何与物理性的三角形或直线无关。康德说，您是在自己脑海中创造出它们的。

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▲ 三维欧几里得空间中的每个点由三个坐标确定(图自维基)
实际上，欧几里得的证明需要第五个假设。因此，这个关于角度之和的定理要求空间为欧几里得。康德没有说这个，但他确实说只有一个空间。因此，对于康德而言，似乎没有其他的替代欧几里德的想法。
伏尔泰是另一个视欧几里德空间为真理的哲学家。他赞同了 18 世纪的普遍观念，即普遍认同是真理的标志。他说：“几何学上没有宗派。没有人说'我是欧几里得学派，我是阿基米德学派。' 你证明了一个真理，那么全世界都会聆听你的意见。” 对于伏尔泰来说，数学就是例证，道德也应该如此！伏尔泰写道：“只有一种道德，只有一种几何。”