著写最早几何学集大成之作，欧几里得曾是怎样影响世界的？ _古代数学

几何学是数学中一个基础分支，应用于人类许多领域。我们需要用几何学来测量东西、理解形状，并对我们所居住的这个空间进行度量。
但是几何学并不仅限于此：它与人类思想和生活的各个方面都相互作用，许多文化中都有它的发展。
首先，让我们看下被称为“几何之父”的人：古希腊数学家欧几里得（Euclid）。欧几里得的工作是我们拥有一种对于几何的系统性方法的最早例子。当你在几何学中做出一般性陈述时，例如毕达哥拉斯定理（勾股定理），您应该证明这个陈述是从你认为是不证自明的陈述中通过逻辑规则推导得到的。2000 年以来，这种欧几里得的系统性方法似乎证明了关于几何形状的真理，从而实现了确定性。

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▲ 欧几里得, Justus van Gent 在 15 世纪所描绘(图自维基)
欧几里得的严谨后来许多重要的思想家认为，只要其他学科遵循相同的方法，其他学科可能就会也具有几何的这种确定性。例如，勒内·笛卡尔（René Descartes）说，如果我们从不证自明的真理（也称为公理）开始，然后在逻辑上从这些公理中推论出越来越复杂的定理，那么我们将无所不知。哲学家本尼迪克特·斯宾诺莎（Benedict Spinoza）甚至撰写了《伦理学——用几何原理进行的论证》（Ethics Demonstrated in Geometrical Order），其中明确标明了公理和定义。他宣称要证明上帝的存在，就像数学家所做的那样，用 QED（拉丁文, quod erat demonstrandum)，表示证明完毕。出现在数学证明末尾，代表证明的结束符）结束了该数学证明。
在科学上，艾萨克·牛顿的代表著作《自然哲学的数学原理》清楚地说明了欧几里得的影响。牛顿称其著名的运动定律为“公理”，并以两个数学定理的形式推导了他的万有引力定律。正如牛顿所写：“从那么少的原理中就推出很多，这是几何学的荣耀” 。

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▲ 《自然哲学的数学原理》拉丁版封面(1687) (图自维基)
这里还有一个欧几里得影响力的例子。《美国独立宣言》设计成通过使用欧几里得的形式来激发人们对其确定性的信念。托马斯·杰斐逊（Thomas Jefferson），一个当时比任何其他美国总统对数学都懂得更多的人，这样开始他的论述：“我们认为下述真理不证自明：人人受造而平等……”这份宣言中还有其他不证自明不证自明的真理，他使用了“证明”一词，紧接着开始推论出美国建国的宣言实际上是一个逻辑推论的结论：我们因此……同时庄严宣布：这些联合一致的殖民地从此成为、而且按其权利必须成为自由独立的国家……” 。
因此，在哲学、神学、科学和政治学领域，这一理想化的欧几里得推理模型塑造了证明、真理和确定性的概念。
欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的真命题。它的前四个公理(公设)是：

从一点向另一点可以引一条直线。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都相等。

欧几里得的公理在探讨欧几里得几何的影响之前，让我们看一下他建立此几何推理的假设。在上面的四个公理中。这些是显然成立的，没有人会怀疑。但是还有第五个，称为平行线假设：如果落在两条直线上的一条直线使同一侧的内角之和小于两个直角，则这两条直线（如果可以无限延伸）在该侧相交。
不好理解？这是一张说明它的图片：

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▲ 如果和的内角和小于，则两直线不断延伸，在这一侧相交(图自维基)
有时，我会让学生对“这一公理是否是不证自明？”的进行投票，他们绝大多数都认为不是的——甚至想要理解它都必须画一幅图才好。但是，如果这不是不证自明的，那也许就不应该将其视为自明之理，而应从其他假设中证出。希腊人曾试图这样去证明，但他们失败了。中世纪的伊斯兰和犹太数学家，以及 17 世纪和 18 世纪的欧洲的数学家也都失败了。
然而，希腊人成功证出的是，第五个假设在逻辑上等价于“平行线的唯一性”：在同一平面上，给定一条直线和一个点，只有一条过点且平行于直线的线。