你所想知道密码背后的数学——同余运算 _同余

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密码学中的同余运算密码学已经有数千年的历史，无论是在战争中，还是现在的全球互联网都起着重要的作用。密码学的神奇故事包含着两大古老的领域——数论和概率论。
对于本文所讨论的主题——同余运算就属于数论中的一个重要概念。从孙子问题到凯撒密码，再到 RSA 密钥，同余运算在这些经典的密码问题中也发挥着至关重要的作用。
什么是同余运算当我们把两个整数 A, B 相除时(B ≠ 0)，往往会得到下列等式

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这里 A 为被除数(dividend)，B 为除数(divisor)，Q 为商(quotient)，R 为余数(remainder) 。
有时，当我们在做 A 除 B 的运算时，我们只关心余数 R 的取值情况(当余数为 0 时，被称为整除) 。人们定义计算余数的计算为为取模运算(modulo operator)，称为模（记为 mod），这样我们就得到了等式：

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这个时候，我们说 A 模 B 与 R 相等，B 被称作模数(modulus) 。
例如：

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为了更清楚地看到模是怎样运算的，我们取 [0,11] 这个区间内的整数，并将它们都除以 3，观察余数的变化情况：

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我们可以看到余数从 0 开始，每次增长 1，直到接近除数为止。所以，在这个过程当中，余数是循环的。我们不妨把所有余数围成一个圆，随着被除数的不断增长，其余数则是在这个圆里循环。

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图 1
这个过程和我们钟表的原理是一样的，人们将一天分为二个以十二小时计算的单位。在 12 点时就会归为 0，即钟表实际上是由模数为 12 的模算数。从表盘读取时间其实就是同余运算的过程。例如，我们在说 18 点时，很容易就可以想到是下午 6 点，因为这个时候时针从 0 点开始走过了 18 个数字，那么我们可以从图上看到，指针最后停到了 6 点。

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【你所想知道密码背后的数学——同余运算】
图 2
如果用数学公式来表达这一过程，那就是
18 ÷ 12 = 1... 6
由于此时我们只关心余数的取值，所以利用‘模’这个式子同样也可以写为18mod 12=6
因此，当我们计算 Amod B 时，可以遵循以下步骤：

将钟表的结构调整为 B 个数字
从 0 开始，移动 A 个数字
最后我们所在的地方就是我们的答案: 余数 R

当然，如果 A 是正数我们就按顺时针方向移动，如果是负数，则按逆时针方向移动。
试想，如果我们以 B 的整数倍来增大 A，那么我们的终点将会是相同的。即对于任意的 K 有

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例如，
- 3 mod 10=3
- 13 mod 10=3
- 23 mod 10=3
- 33 mod 10=3

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图 3
同余如果 A 与 B 除以 C 有相同的余数，那么我们可以表达为

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这个时候，我们可以称 A 与 Bmod C 是同余(congruence modulo) 。为了更好的了解同余的这一概念，我们先来看一下所有整数模 5 的情况：

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从上图我们可以看到，我们把整数分为 5 个区域，分别标注为 0，1，2，3，4 。而后，根据同余运算把所有的整数都放入 5 个区域当中。
我们可以把这些区域想象成装着一堆数字的袋子，举个例子，26 应该是在标注为 1 的袋子中，因为 26mod 5=1 。
从上图中我们可以看到，1、6、11、16、21 同样也在这个袋子里。我们把这些在一个袋子里的数字称作是一个等价类(Equivalence class) 。