欧氏几何是唯一宇宙空间表现形式？三位数学家和他们的几何新世界( 三 ) _数学家

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▲图 6 - 7
19 世纪出现了全新的几何之后，欧几里得几何并不是唯一的受害者，康德关于空间的思想也未能幸免。让我们回想一下，康德曾经断言，人类感知到的信息在进入意识之前，必须经过欧几里得几何学中的模板加以重组。但是， 19 世纪几何学家们的“直觉” 似乎在一夜之间全部被唤醒了。很快，他们就在非欧几何领域取得了众多进展，并开始学习沿着非欧几何指明的全新道路去感受世界。最终，欧几里得几何学对空间的感知竟然被证明是后天学来的，而不是直觉获取的。面对这些剧烈的变化，法国著名的数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré ， 1854—1912）提出，几何的公理“既不是综合的先验性直觉，也不是经验事实。它们是约定俗成的。我们根据经验事实做出选择，而这种选择是自由的” 。换句话说，庞加莱仅把公理视为“伪装的定义” 。
庞加莱的观点不仅受到了上述非欧几何思想的启发，同时也受到了当时不断涌现的其他新几何的鼓舞。在 19 世纪末前，新几何的发展似乎不受控制了。例如，在投影几何学（比如，当电影胶片上的影像被投射到屏幕上时形成的图形）中，直线和点这两个角色可以互换，因此，关于点和线（请注意这里的次序）的定理能变为线和点的定理。在微分几何学中，数学家利用微积分研究各种数学空间的局部几何属性，例如球面或环面上的几何属性。这几类几何和其他类型的几何乍一看似乎是数学家充满想象的发明，而不是对物理空间的精确描述。那么，后人又该如何证明“上帝是数学家”？毕竟，如果“上帝总在研究几何学”（历史学家普卢塔克认为这句话出自柏拉图），那么哪一种几何是神采用的呢？
很快，对欧几里得几何缺点的深刻认识引起了数学家对数学基础的普遍关注，特别是数学与逻辑之间的关系。我在这里就提一句：“公理是不证自明的”这一观点已经动摇了。虽然 19 世纪的人们也见证了代数和分析领域的一些重大进展，但是，几何学的发展对数学本质问题的影响是最深远的。
【欧氏几何是唯一宇宙空间表现形式？三位数学家和他们的几何新世界】