调和级数的几个有趣应用及一个著名悬而未解的数学问题 _小知识

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交通流量?

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在不允许超车的单行道交通中，一辆慢车后面跟着一堆想超车但不能超车的汽车。如果 n 辆汽车行驶，将形成多少条车流？如同上一个例子，这就像在问将观察到多少低速记录一样，我们知道答案：

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因为车流中后车速度一定会比前车慢，所以两车的间隔会更大。这解释了为什么在长隧道出口附近的汽车往往比隧道入口附近的汽车行驶得更快，并且车流较稀疏时车与车的间隔也会更大。
更好的检测方法假设你有一百根类似的木梁，并希望找到他们产生断裂应变的力的最小值 F。您制作了一个简单的机器，将逐渐增大的力施加到水平放置的木梁上。通过逐渐增加力的大小，直到木梁断裂，你可以找到每根木梁的断裂应力 F。假设我们用 Fn 表示第 n
根木梁的断裂应力。
以这种方式进行的销毁测试有一个缺点。虽然最后你知道了 n 根木梁的断裂应力 Fn，但在这个过程中你也毁坏了所有木梁。实际上我们想知道的并不是每根木梁断裂应力的精确值 Fn，而是 Fn 的最小值，其中 1<n<100 。于是你改成以下实验。

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测试第一根木梁使其产生断裂，并记录下第一根木梁的断裂应力( F1) 。然后，测试第二根木梁，不断增加作用在木梁中心的力 F 直至 F1 的大小，但不要超过 F1 。如果木梁没有断裂，说明这跟木梁的断裂应力大于 F1 。如果木梁断裂了，则记录第二根木梁的断裂应力 F2。然后测试第三根木梁，使作用在木梁中心的力增加至 F1 和 F2 中的最小值。如果木梁断裂了，记录下断裂应力 F3，如果没有断裂，则继续做下一根木梁的测试。
这个实验不断地记录木梁断裂应力的最小值，只有那些断裂应力打破新低记录的木梁才会被毁坏，因此如果试验木梁的数目为 100，则有 5.19 根木梁会被毁坏，而如果试验木梁 1000 根，则有 7.49 根被毁坏。
洗牌

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洗牌（从数学上讲）最简单的方法被称为"随机顶部"洗牌。卡牌组的顶部卡被随机地插入到卡牌组中。那么，必须重复多少次这样的洗牌以后我们才能视这个卡牌组为“随机的”洗过牌了呢？
我们知道，一开始置底的那张卡牌，在有另一张卡牌放置到它底下之前，这张卡牌（记为 B
）一直都是在置底的。现在从卡牌组顶部取出一张卡牌，再随即地放回卡牌组里，有 n 种可能的情况，这张卡牌被放置到 B 底下的概率为 1/n，因此平均下来经过 n 次这样的洗牌就会有一张牌置于 B 的底下。而因为有了第一张牌置于 B 的底下了，也就是 B 的底下有两个放牌的空间，所以这一次每一张牌经过洗牌后置于 B的底下的概率就变成了 2/n，同样地预计经过 n/2 次的洗牌会有第二张牌置于B的底下。因此，预计经过 n+n/2 的洗牌会有两张牌置于 B 的底下。请注意，现在置于 B 底下的牌的顺序时随机的。不断重复这样的洗牌，整副卡牌置于 B 底下所需要的次数是

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如此一来，B 底下的卡牌顺序都是随机的，想要整副卡牌顺序都是随机的，只需要再洗一次牌，将 B 随机地放入卡牌组中。因此，随机地洗完整副牌所需的次数是：

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穿越沙漠

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这个问题在二次大战中引起了极大的关注，以至于有传言称，这是德国人设计出来并散布到英国的，以此分散英国科学家的注意力。
问题是这样，现在要乘吉普车穿越沙漠，但中途并没有燃料补给，也不能在车里携带足以穿越沙漠的燃料。目前你没有时间建立中途的补给站，但好消息是，手头有的是吉普车。现在的问题是，如何使用最少的燃料穿越沙漠？
我们以一辆吉普车能行驶一箱油的距离所耗油量作计量单位。如果两辆吉普车一起出发，则先一起走 1/3 箱油的距离，然后吉普车 B 将 1/3 箱油倒给吉普车 A，然后用剩下的 1/3 箱油返回原点。此时，吉普车 A 行驶距离合计为 1+1/3 箱油。