极坐标系下的奇妙曲线图像( 二 ) _坐标

对数螺旋现在，让我们来看看下述方程的图像

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其中e是自然常数，e=2.71828…
当θ=0时，我们得到

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因此，我们的形状包含具有极坐标的点(1,0) (其笛卡尔坐标恰好也是(1,0)) 。下图表示θ值从0到2对应的图像。每个点p对应的坐标为(e^(θ/10),θ) 。这里我们再次看到了螺旋的雏形，但这次有所不同。

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同样地，我们使θ从2增加至4、6等不断递增。然而，这一次螺旋的循环没有均匀地间隔。

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这是的一个例子。它之所以称为对数螺旋，是因为其表达式

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也可以表示为

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其中ln是以自然常数e为底数的自然对数。
(还有一种更一般的对数螺旋形式，其表达式为r=ae^(bθ)其中a和b都是正实数。)
但这里还有另一种玩法：我们可以令角度值θ变成负数！要查找第二极坐标（即θ坐标）为负值的点，您需要从x正轴开始朝另一个方向度量角度：即顺时针方向。例如，具有极坐标(r,- /2)的点位于y轴的负半轴。
这对于对数螺旋意味着什么?当θ值从0到-∞变化时，图像上的螺旋线将以顺时针旋转一、二、三乃至无数圈。作螺旋线，其点p对应的坐标为

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但现在随着θ不断减小趋向-∞，螺旋线也不断向内部移动，趋近于(0,0)，这是因为

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所以如果随着x减小且趋于-∞，那么e-x会不断增大且趋于+∞，所以1/e-x是正值，且趋近于0 。
下图显示了当θ不断减小至-10时，点 p 的分布情况。

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让θ值从-∞变化+∞，就会产生一个双向无限的螺旋，它既没有起点，也没有终点。

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完全对数螺旋
但请注意。正如您从图像中所见，这张图片看起来和上面的图片的差不多，即使这里的 x 轴和 y 轴覆盖的范围要小得多。这表明了对数螺旋的一个非常有意思的特点。如果使对数螺旋的图片放大或缩小，那么你看到的图片将会看起来与放缩前完全一样，该特性称为自相似性。这可能是对数螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蜗牛壳的漩涡和许多植物，甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它们。
17世纪的数学家被这个美丽的形状迷住了，他称之为"spiral mirabilis"(奇迹般的螺旋)，并要求把它刻在他的墓碑上，并附以颂词"纵然变化，依然故我" 。不幸的是，雕刻师弄错了，他最终在他的坟墓上雕刻的是阿基米德螺旋而不是对数螺旋。
极地玫瑰我们要介绍的最后一个图形，或者更确切地说，最后一组图形，让我们先从这个方程开始r=|sinθ|, ( || 符号代表绝对值，因此r恒为正值)
要了解这个方程，让我们先复习一下正弦函数的图像，下图是横轴对应θ值而纵轴对应sinθ值时的图像变化情况：

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加上绝对值意味着，图像中横轴以下的部分（该部分sinθ为负值）应该翻折到横轴以上的位置：