极坐标系下的奇妙曲线图像 _坐标

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[遇见数学翻译小组] 作者: 刘雄威, 一个数学爱好者，希望为数学科普工作做更多贡献，欢迎纠错或讨论.
大多数人都熟悉笛卡尔坐标系，它将平面上的每个点分配给两个坐标。要查找p(x0,y0)需从起点(0,0)开始，沿横轴走x0个单位距离和沿纵轴走y0个单位距离(见下左图) 。

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笛卡尔坐标系 vs. 极坐标系
但还有另一种坐标系也非常好，它用于飞机的定位。对于每个点p分配一个数对(r,θ)，其中r是原点(0,0)沿直线到p的距离，θ是从 x轴的正半轴逆时针旋转至原点与p点所连成的径向线所夹的角度。这些新坐标称为极坐标，之所以这么命名，是因为我们将轴的交叉点视为所有事物从中辐射出来的极点（见上右图）。

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如何在极坐标系中表示出简单的图形?从上面的交互性可以看出，以(0,0)为端点的射线图形由θ值唯一确定，例如，y轴的正半轴由以下方程表示
θ=/2=1.5707…
以及夹于x轴的正半轴和y轴的正半轴中间位置的射线由以下方程表示
θ=/4=0.7853…
一般来说，方程

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描述以(0,0)为端点，与x正轴的夹角为θ0的射线。
那么如何用极坐标系来表示圆形呢?我们知道以(0,0)为圆心、r0为半径的圆，其所有点都落在距离(0,0)有r0个单位的位置上。因此，我们可以用以下方程来描述极坐标系中的圆

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此表达式比笛卡尔坐标系中的圆的方程简单得多，即

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然而描述不穿过点(0,0)的直线和不以(0,0)为圆心的圆的极坐标方程比其笛卡尔坐标方程复杂但也有一些图形，其表达式使用极坐标方程比使用笛卡尔坐标方程要简单得多。以下是我们最喜欢的三个例子。

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阿基米德螺旋让我们来画出这个极坐标方程对应的图像
r=θ
换句话说，我们要寻找的是满足极坐标为(θ,θ)的所有点，以观察它所形成的图像是什么样的。
下图表示当θ值从0变化到2时对应的图像。在图像上每个点的极坐标皆为(θ,θ)，可以看出随着θ值的"增加"，点的位置也逐渐远离(0,0) 。

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于是我们有了一个螺旋的雏形!
但为什么要停在θ=2呢?我们可以继续转动径向线使图像超过一个整圈(θ>2)、转过一圈半(θ=3)、两圈(θ=4)，以此不断增加一圈又一圈。然后，我们便可看到随着图像从θ=2转动到θ=4，点p(θ,θ)到原点(0,0)的距离会逐渐增加，从2到4，让θ从4增加到6，则可以看到图像上的点距离原点越来越远。下图表示了θ从0到20的图像。

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使θ一直增加到无穷大，会得到一个以(0,0)为中心的无数圈的螺旋：
这个美妙的形状被称为以伟大的希腊数学家的名字命名，他在公元前三世纪发现了它。从图片中可以看出，螺旋的循环间隔均匀：如果以(0,0)为端点画一条射线（即径向线），则可以看到螺旋上的任意两个连续交点之间的距离始终为2 。
还有其他类型的阿基米德螺旋，其特征是螺旋与径向线的连续交点之间的间隔始终相等。它们可以归纳为以下方程

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其中a为正实数。使a值不断变化，您便可以看出，a值决定了螺旋的紧密程度，因此，a值也决定了螺旋与径向线的连续交点之间的间隔。下图分别为a=2与a=0.5的对应图像。

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【极坐标系下的奇妙曲线图像】
如果您更喜欢物理解释，那么当您追踪从中心向外出发且以恒定角速度移动的点的路径时，您也会得到阿基米德螺旋。