康托尔无穷数理论所带来理性的新危机( 二 ) _小知识

这个发生矛盾，让人领悟到在旧体系中也存在矛盾的新理论，就是无穷集合论（theory of infinite sets）。分析的严密化使人们必须考虑收敛的无穷级数（具有一个有限和）和那些发散级数的区别。在这些级数中，三角函数的无穷级数——以傅立叶命名的傅立叶级数——起了极其重要的作用。而一些在严密化过程中产生的问题，在康托尔着手解答时被暴露了出来。这导致他考虑数的集合理论，特别是引入无穷集合，如所有奇数、所有有理数和所有实数的集合等。
当康托尔把无穷集合看成一个可以被人的心智思考的整体时，他就打破了长久以来的定论。从亚里士多德起，数学家们就能区分实无穷（actual infinity）与潜无穷（potential infinity）。比如说，地球的年龄，如果有人认为它是在某个确定时间创生的，它的年龄就是潜无穷。因为无论什么时候，它虽然有限，却在持续增长。所有（正）整数的集合也可以被看成是潜无穷的。因为，即使一个人数到了100万，他还可以考虑再加1 加2 ，等等。然而，如果地球在过去是一直存在的话，则任何时刻其年龄都是实无穷的。同样，所有整数的集合被当作一个整体时是实无穷的。
将无穷集合看成是实无穷还是潜无穷，这个问题由来已久。亚里士多德在他的《物理学》中得出的结论是：“一个可取的观点是无限是潜在的……不会是实在的。”他坚持认为数学中不需要后者。希腊人通常认为无穷是不能接受的概念，它是一个不着边际且不确定的东西。后来，这些讨论曾一度使人迷惑不解，因为许多数学家像谈论数一样谈论无穷，却并没有弄清它的概念或性质。比如，欧拉在他的《代数》（Algebra ， 1770）中说1/0 是无穷大（而他并没有定义无穷大，只是用符号表示它），并且说毫无疑问2/0 是1/0 的二倍。在有极限的场合中运用∞符号会产生更多的混乱，当n 趋于∞时， 1/n 趋于0 。在这里，符号∞仅意味着n 可以取越来越大的值，并大到一定值（是有限的），以使0 和1/n 的差小于一任意值。这儿并没有涉及实无穷。
然而，多数数学家——伽利略、莱布尼茨、柯西、高斯和其他一些人——都清楚地知道潜无穷集合和一个实无穷集合的区别，却拒绝考虑后者。如果他们必须得谈及，比如说，所有有理数的集合，他们不会给这个集合赋以一个数。笛卡儿说过：“无穷可以被认知，但不能被理解。”高斯在1831 年写给舒马赫1 的信中说：“我反对把无穷作为现实的实体来用，在数学中这是永远不能允许的，无穷只不过是一种说话方式，我们所说的极限是指，某些比可以随意地接近它，而其他的则被允许无限地增加。”
因此，当康托尔引入实无穷集合时，他不得不完善他的创造以与过去最伟大的数学家们所持有的概念相抗衡。他论证说，潜无穷实际上依赖于一个逻辑上优先的实无穷。他还证明了无理数，比如2 ，当用小数来表示时，要涉及实无穷集合，因为任何小数只是一个近似值。他意识到自己正在和前辈们彻底决裂。1883年，他说：“我使自己同关于数学中无穷的普遍的观点和经常得到辩护的关于数的本质的观点处在了敌对的状态之中。”
到了1873年，康托尔不仅主张把无穷集合看成一个存在的全体，还开始对它们加以分类。他根据两个无穷集包含着相同或相异的元素数来决定其区别，他的基本想法是利用一一对应。正如我们认为，五本书和五颗弹子都可以用同样的数字5 来代替，是因为我们可以把每一本书与每一颗弹子来配对。康托尔也将一一对应运用于无穷集合。现在，可以建立起下面的所有正整数与偶数间的一一对应关系：
1 2 3 4 5 …
2 4 6 8 10 …
也就是说，每一个正整数恰好同一个偶数即它的两倍相对应，且每个偶数恰好同一个正整数即它的一半相对应。康托尔因此得出结论，这两个集合包含同样多的元素个数。它是这样的一个对应，即全体正整数的集合，可以与其自身的一部分一一对应。这个结论对早期的思想家来说很是荒谬，也促使他们抵制有关无穷集合的任何成果。但康托尔并没有因此而退缩，他预见到无穷集合将遵循新的不适于有限集的法则，就好比四元数所遵循的新规则是实数所不具有的。事实上，他将无穷集合定义为这样的集合：其与自身的一个真子集（proper subset）可以一一对应的集合。