康托尔无穷数理论所带来理性的新危机( 五 ) _小知识

让我们来看一下这些悖论吧！一个非数学的例子是这样的：“所有的法则皆有例外。”而这个陈述作为一个法则也必有其例外。因此，存在一个没有例外的法则。这一类陈述是指向自身并否定自身的。
广为人知的非数学的悖论是“说谎者悖论” ，它曾被亚里士多德和许多后来的逻辑学家讨论过。关于这个命题的经典句式是：“这个命题是错误的。”我们用S 来表述这个命题，如果S 为真，则上述所说为真，因而S 是错误的；若S 为假，则上述所说为假，因而S 又必为真。
这个悖论还有许多变体。一个人可以说：“我在说谎。”这个陈述是真的，还是假的呢？如果他真在说谎，那么他所说的就是真的；而如果他所说的是真的，则他又在说谎。还有一些变体涉及较为间接的自指。比如，有这样两个句子：“后一句话是假的，前一句话是真的。”这就会产生矛盾。因为如果后一句话是真的，那么“后一句话是假的”就是真的，但如果后一句话是假的，那么“后一句话是假的”就是假的。
20 世纪一流的逻辑学家哥德尔给出了一个与上述矛盾陈述略有差异的变体：在1934 年5 月4 日， A 给出一个陈述：“A 在1934 年5 月4 日所说的每一句话都是假的。”这个陈述不可能是真的，因为它断言了自身是假的，但它也不可能是假的，因为如果它是假的， A 就在5 月4 日做了一个真实陈述，而他又只讲了这一句话。(未完待续)
25个世纪以来，数学史上发生了多次危机：非欧几何对欧氏几何的冲击、无理数的发现及数的扩张、微积分带来的分析困境；集合论悖论和其他逻辑悖论出现……使得数学大厦一次次面临倒塌的危险……
本书探讨数千年来数学在直觉、逻辑、应用之间穿梭往复的炫目旅程，再现真实数学的发展过程，阐述数学的起源、数学的繁荣和科学的数学化，直到当代数学的现状：数学与确定性（逻辑，严密性，完备性）渐行渐远。
【康托尔无穷数理论所带来理性的新危机】