康托尔无穷数理论所带来理性的新危机 _小知识

天堂受阻：理性的新危机

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经历了几个世纪在理性迷雾中的摸索，到1900 年，数学家们似乎已经赋予了他们的学科一种理想的结构，也就是欧几里得在他的《几何原本》中所描述的那种。他们最终承认了对无定义概念的需求，一些含混或令人不快的定义被取消了，一些分支也被建立在严密公理的基础上。正确、严谨、演绎的证明取代了基于直觉或经验的结论，甚至逻辑学的原理也被发展用以完善数学家们过去常用的那种不正规的、不清晰的证明方式。就我们所知，到1900 年时，这么做是可靠的。至此，正如我们已经说过的那样，数学家们因此倍感欣慰。正当他们额手称庆之时，新的发展却搅乱了他们平静的生活，这甚至超出了19 世纪上半叶时非欧几何和四元数所造成的影响。正如弗雷格所言：“当大厦即将竣工的时候，地基却崩溃了。”
希尔伯特曾经呼吁数学界注意一些尚未解决的关系到数学基础的问题，这其中，建立不同公理系统的相容性问题是最基本的。他也意识到公理化方法使得无定义概念及其有关公理的运用成为必要。凭直觉，这样的概念及公理有着很特殊的意义。例如，点、线、面这些词语，都有实在对应物，而欧氏几何的公理正是表述这些概念间的物理事实的。然而，正像希尔伯特所强调的，纯粹的欧氏几何逻辑并不要求点、线、面被束缚于某种特定的解释，而且对这样的公理，应该用尽可能少的假定，而致力于推导出更多的东西。尽管有人试图把公理公式化，以使他们能断言哪些东西看起来有实在意义，但在公式化的同时，也存在着危险，即这些公理可能成为不相容的，也就是说会导致矛盾。帕施、皮亚诺和弗雷格已经意识到了这种危险，希尔伯特在1900 年的巴黎数学家大会上也强调了这个问题。
把物理事实抽象公式化时，可能出的毛病用一个粗浅的比喻也许更容易让人明白。某地发生了一起命案（许多人会同意数学是一种罪过），一个侦探在调查案件时，有一些无定义概念，如罪犯、犯罪时间等。无论得到什么事实，他都记录下来，这就是他的公理，然后他对事实进行推理，以期对案子能做出一些判断。他很可能得出矛盾的推论，因为他所做的一些假设，即便是尽可能基于已发生的事实而且并不存在矛盾，却仍然可能超出事实或只是接近事实。的确存在罪犯，但推理会得出这样的结论：罪犯身高1.5 米，同时他又身高1.8 米。
如果不是为了新的发展，那么各公理系统相容性的证明能否成为关键性问题还是值得怀疑。到1900年，数学家们认识到他们不能再依赖于数学的物理真实性来肯定它的相容性。以前，当欧氏几何被当作物理空间的几何时，其中定理的连续推导会导致矛盾是不可思议的事情。但是到1900 年，欧氏几何被看成不过是建立在一组20 条左右的人为公理上的逻辑构造，彼此矛盾的定理的出现是确实可能的。那样的话，许多以前的工作会变得毫无意义，这是因为，如果两个彼此矛盾的理论出现的话，每一个都可以用来证明另一个的矛盾之处。因此，推导出来的定理会毫无用处。但希尔伯特通过证明如果算术系统的逻辑构造是相容的，那么欧氏几何也是相容的，从而排除了这种可怕的“如果” 。也就是说，实数系统必然是相容的，对此几乎不存在什么忧虑和危机。

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但是，令所有人惊愕不已的是，刚过1900 年，有人就在构成并延伸我们关于数的知识的基础理论中发现了矛盾。1904 年，杰出的数学家普林斯海姆声称，数学所寻找的真实性就是相容性。当希尔伯特在1918年的一篇文章中再次强调这个问题的时候，他已有了比1900 年讲话时更充足的理由。