矩阵就是方程组的系数吗线性方程组的系数矩阵一定是方阵吗( 二 ) _小知识

好，如果我们陷入矩阵就是方程组的思维，那么，矩阵相似，应该是两个方程组相似了？
方程哪有相似的说法呢？？？
真是一头雾水，莫名其妙。
又比如，还有一套著名的概念：

矩阵的特征值和特征向量。

也就是说，矩阵它有特征，而且有几个数字，可以代表矩阵的特征。
难道方程组还有特征？
是不是又觉得很莫名其妙。
这样的例子简直是多如牛毛，不胜枚举。
那问题到底出在哪？
实际上，这个问题，跟我们教科书有一定的关系；跟我们的课堂，也有一定的关系。
我不知道是不是很多老师觉得我刚才问的那几个问题太简单了，不屑于在课堂上讲。但实际上，我觉得，解答这些问题是非常重要的。
就是，

我们一定要在一开始，让大家觉得，这些东西是很自然的，而不是需要死记硬背的。

那么，为什么矩阵有这么多相关概念，却又难得理解呢？

是因为我们理解的方法错了。

首先，

矩阵就不一定表示方程组的系数。

而是，

矩阵只是一堆数字的阵列，仅此而已。

矩阵的定义，无需引入方程组。你让矩阵的这些数字代表什么，它就可以代表什么。
比如，我统计每天上午和下午的工作时间，连续统计了三天，分别是，

上午1小时，下午4小时；
上午2小时，下午5小时；
上午3小时，下午6小时；

那么，我们可以将这些数据，表达成一个矩阵，
然后我可以对这些数据进行各种计算和处理，比如，我需要计算平均值，或最大值，等等。
也就是说，

矩阵它没有必要是方程组的系数，其定义与方程组无关。

那么，有人说，

为什么人们又可以用矩阵的方式，去表示方程组呢？

这就是问题的要害。
事实上，所有的问题，根本在于，我们很多人在学习的过程当中，

把矩阵的历史发展顺序，与矩阵理论的逻辑顺序，搞混了。

而且更要命的是，这两个顺序，正好是个反的。
什么意思呢？
首先，历史上，矩阵这个东西是怎么发展出来的？
我们刚才已经讲了，就是人们在研究方程组的时候，把它的系数，提取出来，解方程。用系数的阵列来解方程，最早在公元1世纪的《九章算术》中就有了。
然后，我们就来研究这堆矩形的数字的阵列，发现，其实可以单独搞成一门学问，于是就给它起了个名字，叫“矩阵（matrix）” 。
Matrix这个词是1850年才出现的。
因此，矩阵的历史发展顺序是，

先有方程组，然后，为了解方程，而搞出了一个系数矩阵，然后推广，成了一门学问。

而现代线性代数理论的逻辑顺序是什么呢？
是，

我们先脱离了方程组，来直接定义了什么是矩阵。

什么是矩阵呢，矩阵就是一堆数字的阵列：
这个A，就是一个矩阵。除此之外，再无其它的意思，和方程组没半毛钱的关系。
那么有人说，既然这样，那么这矩阵在理论上，怎么又跟方程组扯上关系了呢？
那是因为，

我们后来又定义了矩阵的计算方法。

矩阵，

它可以做加法。
矩阵和矩阵，可以做乘法。
矩阵和数字，可以做乘法。
矩阵它还有逆运算，就是我们刚才说的那个P逆。
矩阵还有转置运算。
矩阵它还可以平方，它可以进行幂运算。

等等。
但是注意，定义这么多运算，也不需要引入方程组这玩意，而只需要在矩阵的定义基础上，再定义矩阵的运算法则。（关于矩阵的计算，专栏有详细介绍）
然后，对于一个方程组，
我们可以利用该方程组的系数，创造出三个矩阵：

文章插图
然后，利用矩阵的乘法法则，将该方程组表示为：

矩阵就是方程组的系数吗 线性方程组的系数矩阵一定是方阵吗( 二 )

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