克莱因瓶|我们能造出莫比乌斯环，却无法造出克莱因瓶，这是为什么？克莱因瓶

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现实生活当中，经常有人会将人类和蚂蚁做对比，甚至认为蚂蚁属于一种二维生物。这是因为蚂蚁的视力很弱，基本是依靠气味和触觉判断方位的，所以蚂蚁眼中的世界是二维的，由简单的点和线构成。但是我们看到的蚂蚁明显是三维的，起码它们并不是一张纸。针对这类疑惑，科学家们试图使用几何让我们理解各个维度之间的区别，因此特殊的模型出现了，它们就是莫比乌斯环和克莱因瓶。
对于莫比乌斯环，大家肯定都不陌生，毕竟这几年“莫比乌斯环状戒指”算得上是热卖的首饰之一，人们认为它能代表永恒、无限的爱情。它的制作方法很简单，我们对一张A4纸进行裁剪，剪出一张细长的纸条，将它两头抓住扭转180° ，再粘在一起，一个简易的莫比乌斯环就做好了。可是另一个模型克莱因瓶，却无法被造出，只能存在于电脑程序建模当中，这又是为什么呢？原来是因为它并不属于我们这个三维世界，而是来源于更高的四维空间。
拓扑学探究莫比乌斯环和克莱因瓶的奥秘之前，我们需要先了解一下它们的来源。其实最初它们都源于数学当中的几何学，现在已经变成了几何学的重要分支，改头换面取了个新名字叫做“拓扑学” 。
这门学科最早发展于19世纪，起源则要往前追溯一些，具体可以到18世纪。主要用于研究几何模型或者空间学的，特殊之处在于拓扑图形的性质，就是不论你如何将它弯曲、缩小或者变形它都能保持不变，因此还得了一个别称叫“橡皮几何学” 。
拓扑学研究的图形会使人感到十分费解，人们不能理解为什么要研究这些奇怪的图形。这里要解释一下，在我们的惯性思维当中，一切看到的图形都是在欧几里得几何定义之下的，是一种合乎“正常”的模样。
但是拓扑学则最大程度地跳出了这一定义，几何图形或者模型在这里有着更大的自由度，因此它们看起来奇形怪状的甚至说更加的抽象，与我们看到的欧几里得几何定义下的世界完全不同。因此可以说拓扑学是属于纯粹思维逻辑领域的学说，大家就不要以惯性的思维去看待这些图形有没有意义，这是一个思维误区。
【克莱因瓶|我们能造出莫比乌斯环，却无法造出克莱因瓶，这是为什么？】
综合拓扑学的发展以及相关定义来看，这门学科其实更像是一种思维游戏，绝大多数时间需要依靠大家自行发挥想象力，如果你只是用惯性思维进行看待，那么确实就是一个非常无厘头的几何模型。但是如果大家闭上眼睛进行想象，会发现它不同于传统数学，有精准的数字或者概念规定，因此拓扑学在现实中的应用其实很少，它更多时候发生在思维层面当中。
下文当中要介绍的莫比乌斯环和克莱因瓶就是拓扑学的典型研究对象，所以希望大家在观察这两个图形的时候，跳脱出直观世界的限制，不要将重点放在争论它到底有没有意义，或者合不合理。
莫比乌斯环是什么？莫比乌斯环也可以叫莫比乌斯带，它是1858年由德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁共同发现的。它不同于普通纸带有两个面，它只有一个面，其边界由一条闭合曲线组成。假如将一只蚂蚁放在普通的纸条上，蚂蚁想到达另一面，肯定需要跨越纸面的“边界” ，但是在莫比乌斯环之上“边界”神奇地消失了，蚂蚁可以不用跨越任何边缘地带就抵达另一面，甚至是回到起点。