今日必看|说无限道无限，—半是神经一半是神的康托，开启数学危机的魔盒

倘若有人说：“我的一根头发丝上的点和宇宙空间的点一样多。 ”你可能以为他在说胡话。实在，只要摆脱“有限”概念的束缚，就会相信他的话是对的。
虽说人类早在两千年前就有了“无穷”的熟悉，但真正接触无穷本质的人并不多。可能是意大利科学家伽利略最早触及到实质的。他把全体自然数与它们的平方一—对应起来：
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， …
1^2 ， 2^2 ， 3^2 ， 4^2 ， 5^2 ， …
他发现，两串数一样多，将第二串数稍加计算会发现，它们都是第一串数中的数，而第一串数中有的数，第二串数中并没有，如2 ， 3 ， 5 。可见第二串数是第一串数的一部分。部门怎么能即是整体呢？伽利略感到疑惑了，他至死也没弄清楚。
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17世纪的数学终于迎来了新生。牛顿和莱布尼茨独自发明了微积分，却引发了数学的第二次危机。微积分计算的严格性经常被人诟病，迫切地需要数学理论的澄清。到了19世纪，因为分析的严格化和函数论的发展，数学家们对无理数理论、不连续函数理论的研究更是需要理解无限集合的性质。了解“无限”并深入“无限”成了迫在眉睫的需求。
时代呼叫着天才。真正从本质上熟悉“无穷”的，是年青的德国数学家， 29岁的柏林大学教授乔治康托尔（G 。 Cantor ， 1845年3月3日—1918年1月6日）。他的精彩工作，起于公元1874年。

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康托尔的研究是从计数开始的。他发现人们在计数时，实际上应用了一一对应的概念。好比教室有50个座位，老师走进教室，一看坐满了人，不需点数，便可知道听课人数是50 。倘若空了几个座位，立即会知道，听课学生少于50 ，这是因为“部门小于整体”的缘故。然而，这是有限情况下的规律，对于无穷情况，就像前面伽利略例子一样，部门可能即是整体！这，恰是无穷的本质！
经由深刻的思索，康托尔教授得出了一个重要结论：假如一个量即是它的一部分量，那么这个量必是无限量；反之，无限量必然可以即是它的某一部分量。接着，康托尔教授又引进了无穷集基数的概念。他把两个元素间能建立起一—对应的集合，称为有相同的基数。例如，自然数集与自然数平方的数集有相同的基数。自然数集与有理数集也有相同的基数（康托尔有证实，略去）。
因为自然数集的元素是可以从1开始，逐个点数的，所以凡是与自然数集基数相同的集合，都具备可数的特性。可见，可数集基数，是继有限数之后，紧挨的一个超限数。