视觉|曼德尔球，分形几何中最伟大的突破之一，一场视觉盛宴( 三 ) 突破|视觉|几何|盛宴

这就是为什么接下来的两条线着重于提取角度。在上面的图中，yAng映射到φ，它是高度角；zAng映射到θ，作为x和y方向的夹角。
newX = (r*r) * sin( yAng*2 + 0.5*pi ) * cos(zAng*2 +pi);
newY = (r*r) * sin( yAng*2 + 0.5*pi ) * sin(zAng*2 +pi);
newZ = (r*r) * cos( yAng*2 + 0.5*pi )；
接下来的内容要抽象得多。似乎每一行都是为了在二维复平面中再现曼德尔布罗特迭代的动力学，特别是使角度加倍。为什么这些三角恒等式有一半的偏移？尽管差异是一致的机制的3D数字系统，这意味着可能有整个家族的三维分形，取决于角度系数和偏移量的选择。
幸运的是，代码的其余部分非常简单，因为它包含了将常数（x，y，z）添加到新点（xNew，yNew，zNew）；这是到达最后一点的简单添加，然后我们将使用它作为下一次迭代的输入。
正如上面所示，怀特没有用复杂的数学方法，而是用几何方法来解决这个问题。理论上，这种方法可能生成难以捉摸的3D曼德尔布罗特，然而，当它最终渲染时，最初的结果是令人失望的：

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从上面可以看到，怀特方法的输出与添加了轴的曼德尔布罗特集非常相似。就像2D的任务一样，我们很难判断我们到底在寻找什么，这意味着很难判断什么是正确的。合理地说，我们期望3D-曼德尔布罗特在多个方向上包含极端的细节和对称。怀特确实有正确的公式，但他没有在正确的维度上进行搜索。
最初在分形几何中使用的公式，曼德尔布罗特、朱莉娅和法图集的关键，被定义为： Z2 + C。我们假设这个完全相同的公式会在不同的数字系统中产生相似的结果。另一个名叫保罗·尼兰德的狂热分子对怀特的逻辑很有信心，但对令人失望的输出结果感到失望，于是决定进行试验，将Z提高到不同的幂次。
经过多次尝试和极其缓慢的渲染，尼兰德和怀特终于偶然发现了今天被称为曼德尔球的东西。由于没有明显的客观原因，了这一对相信这是最接近曼德尔布罗特集合的等效物之外，没有明显的客观原因，曼德尔布罗特集合的公式是：Z? + C。

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我们终于取得了分形几何领域自1980年曼德布罗特首次发表他的集合以来可以说是最伟大的突破：曼德尔球。它是用更新的公式（Z? + C）在三维空间中生成的，它确实包含了曼德尔布罗特集合中所展示的许多属性。它无可争议的视觉魅力和极其详细的细节，正如许多视频所显示的，它还包含了无限的复杂性，就像曼德尔布罗特集一样。
【视觉|曼德尔球，分形几何中最伟大的突破之一，一场视觉盛宴】不可否认，它值得分形界的赞美和庆祝，但仍有很大的怀疑，这是否是圣杯？事实上，就连怀特也承认，这很可能只是漫长旅途中的又一步。